Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56966 / 8586
↖ ↑ ↗
← N 78.757087°
E132.923584°		 ← 119.10 m → N 78.757087°
E132.929077°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
N 78.756016°
E132.923584°		 ← 119.11 m →
14 182 m²		 N 78.756016°
E132.929077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869239807128906 y=0.131019592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869239807128906 × 216)
    floor (0.869239807128906 × 65536)
    floor (56966.5)     		tx = 56966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131019592285156 × 216)
    floor (0.131019592285156 × 65536)
    floor (8586.5)     		ty = 8586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56966 / 8586 ti = "16/56966/8586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56966/8586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56966 ÷ 216
    56966 ÷ 65536     		x = 0.869232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8586 ÷ 216
    8586 ÷ 65536     		y = 0.131011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869232177734375 × 2 - 1) × π
    0.73846435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.31995419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131011962890625 × 2 - 1) × π
    0.73797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3184202132244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31995419} λ = 2.31995419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3184202132244))-π/2
    2×atan(10.1596116015365)-π/2
    2×1.47268340057259-π/2
    2.94536680114519-1.57079632675     		φ = 1.37457047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31995419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.923584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37457047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.757087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56966 KachelY 8586 2.31995419 1.37457047 132.923584 78.757087
    Oben rechts KachelX + 1 56967 KachelY 8586 2.32005007 1.37457047 132.929077 78.757087
    Unten links KachelX 56966 KachelY + 1 8587 2.31995419 1.37455178 132.923584 78.756016
    Unten rechts KachelX + 1 56967 KachelY + 1 8587 2.32005007 1.37455178 132.929077 78.756016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37457047-1.37455178) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dl = 119.07399000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37457047-1.37455178) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dr = 119.07399000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31995419-2.32005007) × cos(1.37457047) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.194969013024176 × 6371000     		do = 119.097110160431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31995419-2.32005007) × cos(1.37455178) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.194987344317854 × 6371000     		du = 119.108307858304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37457047)-sin(1.37455178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194969013024176-0.194987344317854)×R²
    abs(2.32005007-2.31995419)×1.83312936781477e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.83312936781477e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.83312936781477e-05×40589641000000     		ar = 14182.0347819998m²