Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56965 / 9017
↖ ↑ ↗
← N 78.286011°
E132.918091°		 ← 124.01 m → N 78.286011°
E132.923584°		 →
↑
124.04 m
↓
↑
124.04 m
↓
N 78.284895°
E132.918091°		 ← 124.02 m →
15 383 m²		 N 78.284895°
E132.923584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869224548339844 y=0.137596130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869224548339844 × 216)
    floor (0.869224548339844 × 65536)
    floor (56965.5)     		tx = 56965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137596130371094 × 216)
    floor (0.137596130371094 × 65536)
    floor (9017.5)     		ty = 9017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56965 / 9017 ti = "16/56965/9017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56965/9017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56965 ÷ 216
    56965 ÷ 65536     		x = 0.869216918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9017 ÷ 216
    9017 ÷ 65536     		y = 0.137588500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869216918945312 × 2 - 1) × π
    0.738433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.31985832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137588500976562 × 2 - 1) × π
    0.724822998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27709860575191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31985832} λ = 2.31985832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27709860575191))-π/2
    2×atan(9.74835551593505)-π/2
    2×1.46857248693264-π/2
    2.93714497386528-1.57079632675     		φ = 1.36634865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31985832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.918091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36634865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.286011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56965 KachelY 9017 2.31985832 1.36634865 132.918091 78.286011
    Oben rechts KachelX + 1 56966 KachelY 9017 2.31995419 1.36634865 132.923584 78.286011
    Unten links KachelX 56965 KachelY + 1 9018 2.31985832 1.36632918 132.918091 78.284895
    Unten rechts KachelX + 1 56966 KachelY + 1 9018 2.31995419 1.36632918 132.923584 78.284895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36634865-1.36632918) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dl = 124.043370000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36634865-1.36632918) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dr = 124.043370000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31985832-2.31995419) × cos(1.36634865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203026370781119 × 6371000     		do = 124.00602426059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31985832-2.31995419) × cos(1.36632918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203045435246203 × 6371000     		du = 124.017668602705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36634865)-sin(1.36632918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203026370781119-0.203045435246203)×R²
    abs(2.31995419-2.31985832)×1.90644650848448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90644650848448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90644650848448e-05×40589641000000     		ar = 15382.8473517267m²