Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56964 / 29055
↖ ↑ ↗
← N 70.260380°
W 23.543701°		 ← 103.13 m → N 70.260380°
W 23.540955°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
N 70.259452°
W 23.543701°		 ← 103.14 m →
10 638 m²		 N 70.259452°
W 23.540955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434604644775391 y=0.221675872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434604644775391 × 217)
    floor (0.434604644775391 × 131072)
    floor (56964.5)     		tx = 56964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221675872802734 × 217)
    floor (0.221675872802734 × 131072)
    floor (29055.5)     		ty = 29055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56964 / 29055 ti = "17/56964/29055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56964/29055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56964 ÷ 217
    56964 ÷ 131072     		x = 0.434600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29055 ÷ 217
    29055 ÷ 131072     		y = 0.221672058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.13079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41091510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221672058105469 × 2 - 1) × π
    0.556655883789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.74878603503927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41091510} λ = -0.41091510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74878603503927))-π/2
    2×atan(5.7476210285892)-π/2
    2×1.39853564285084-π/2
    2.79707128570169-1.57079632675     		φ = 1.22627496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41091510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.543701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22627496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.260380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56964 KachelY 29055 -0.41091510 1.22627496 -23.543701 70.260380
    Oben rechts KachelX + 1 56965 KachelY 29055 -0.41086717 1.22627496 -23.540955 70.260380
    Unten links KachelX 56964 KachelY + 1 29056 -0.41091510 1.22625877 -23.543701 70.259452
    Unten rechts KachelX + 1 56965 KachelY + 1 29056 -0.41086717 1.22625877 -23.540955 70.259452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22627496-1.22625877) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22627496-1.22625877) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41091510--0.41086717) × cos(1.22627496) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.33774620856617 × 6371000     		do = 103.134867872513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41091510--0.41086717) × cos(1.22625877) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.337761447152447 × 6371000     		du = 103.139521158153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22627496)-sin(1.22625877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33774620856617-0.337761447152447)×R²
    abs(-0.41086717--0.41091510)×1.52385862776105e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.52385862776105e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.52385862776105e-05×40589641000000     		ar = 10638.2396028475m²