Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56964 / 29052
↖ ↑ ↗
← N 70.263163°
W 23.543701°		 ← 103.12 m → N 70.263163°
W 23.540955°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
N 70.262235°
W 23.543701°		 ← 103.13 m →
10 637 m²		 N 70.262235°
W 23.540955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434604644775391 y=0.221652984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434604644775391 × 217)
    floor (0.434604644775391 × 131072)
    floor (56964.5)     		tx = 56964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221652984619141 × 217)
    floor (0.221652984619141 × 131072)
    floor (29052.5)     		ty = 29052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56964 / 29052 ti = "17/56964/29052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56964/29052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56964 ÷ 217
    56964 ÷ 131072     		x = 0.434600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29052 ÷ 217
    29052 ÷ 131072     		y = 0.221649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.13079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41091510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221649169921875 × 2 - 1) × π
    0.55670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74892984573813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41091510} λ = -0.41091510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74892984573813))-π/2
    2×atan(5.74844765742372)-π/2
    2×1.39855992696647-π/2
    2.79711985393293-1.57079632675     		φ = 1.22632353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41091510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.543701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22632353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.263163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56964 KachelY 29052 -0.41091510 1.22632353 -23.543701 70.263163
    Oben rechts KachelX + 1 56965 KachelY 29052 -0.41086717 1.22632353 -23.540955 70.263163
    Unten links KachelX 56964 KachelY + 1 29053 -0.41091510 1.22630734 -23.543701 70.262235
    Unten rechts KachelX + 1 56965 KachelY + 1 29053 -0.41086717 1.22630734 -23.540955 70.262235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22632353-1.22630734) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22632353-1.22630734) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41091510--0.41086717) × cos(1.22632353) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.337700492276181 × 6371000     		do = 103.120907853397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41091510--0.41086717) × cos(1.22630734) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.337715731128032 × 6371000     		du = 103.125561220134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22632353)-sin(1.22630734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337700492276181-0.337715731128032)×R²
    abs(-0.41086717--0.41091510)×1.52388518517843e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.52388518517843e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.52388518517843e-05×40589641000000     		ar = 10636.799680005m²