Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56960 / 42371
↖ ↑ ↗
← N 53.535411°
W 23.554687°		 ← 181.52 m → N 53.535411°
W 23.551941°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
N 53.533778°
W 23.554687°		 ← 181.53 m →
32 949 m²		 N 53.533778°
W 23.551941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434574127197266 y=0.323268890380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434574127197266 × 217)
    floor (0.434574127197266 × 131072)
    floor (56960.5)     		tx = 56960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323268890380859 × 217)
    floor (0.323268890380859 × 131072)
    floor (42371.5)     		ty = 42371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56960 / 42371 ti = "17/56960/42371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56960/42371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56960 ÷ 217
    56960 ÷ 131072     		x = 0.4345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42371 ÷ 217
    42371 ÷ 131072     		y = 0.323265075683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4345703125 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323265075683594 × 2 - 1) × π
    0.353469848632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.1104582796986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41110685} λ = -0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1104582796986))-π/2
    2×atan(3.03574929797321)-π/2
    2×1.25258275390607-π/2
    2.50516550781213-1.57079632675     		φ = 0.93436918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93436918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.535411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56960 KachelY 42371 -0.41110685 0.93436918 -23.554687 53.535411
    Oben rechts KachelX + 1 56961 KachelY 42371 -0.41105891 0.93436918 -23.551941 53.535411
    Unten links KachelX 56960 KachelY + 1 42372 -0.41110685 0.93434069 -23.554687 53.533778
    Unten rechts KachelX + 1 56961 KachelY + 1 42372 -0.41105891 0.93434069 -23.551941 53.533778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93436918-0.93434069) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dl = 181.509790000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93436918-0.93434069) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dr = 181.509790000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41110685--0.41105891) × cos(0.93436918) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594325865380627 × 6371000     		do = 181.52241723511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41110685--0.41105891) × cos(0.93434069) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594348777490457 × 6371000     		du = 181.529415183209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93436918)-sin(0.93434069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594325865380627-0.594348777490457)×R²
    abs(-0.41105891--0.41110685)×2.29121098295204e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29121098295204e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29121098295204e-05×40589641000000     		ar = 32948.7309328136m²