Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5696 / 2881
↖ ↑ ↗
← N 81.412293°
W117.421875°		 ← 182.42 m → N 81.412293°
W117.410888°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
N 81.410652°
W117.421875°		 ← 182.45 m →
33 277 m²		 N 81.410652°
W117.410888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.173843383789062 y=0.0879364013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.173843383789062 × 215)
    floor (0.173843383789062 × 32768)
    floor (5696.5)     		tx = 5696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0879364013671875 × 215)
    floor (0.0879364013671875 × 32768)
    floor (2881.5)     		ty = 2881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5696 / 2881 ti = "15/5696/2881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5696/2881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5696 ÷ 215
    5696 ÷ 32768     		x = 0.173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2881 ÷ 215
    2881 ÷ 32768     		y = 0.087921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.173828125 × 2 - 1) × π
    -0.65234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.04939833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087921142578125 × 2 - 1) × π
    0.82415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58916782227847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.04939833} λ = -2.04939833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58916782227847))-π/2
    2×atan(13.3186834785196)-π/2
    2×1.49585444495884-π/2
    2.99170888991768-1.57079632675     		φ = 1.42091256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.04939833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42091256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.412293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5696 KachelY 2881 -2.04939833 1.42091256 -117.421875 81.412293
    Oben rechts KachelX + 1 5697 KachelY 2881 -2.04920658 1.42091256 -117.410888 81.412293
    Unten links KachelX 5696 KachelY + 1 2882 -2.04939833 1.42088393 -117.421875 81.410652
    Unten rechts KachelX + 1 5697 KachelY + 1 2882 -2.04920658 1.42088393 -117.410888 81.410652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42091256-1.42088393) × R
    2.8630000000085e-05 × 6371000     		dl = 182.401730000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42091256-1.42088393) × R
    2.8630000000085e-05 × 6371000     		dr = 182.401730000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.04939833--2.04920658) × cos(1.42091256) × R
    0.000191749999999935 × 0.149323203432889 × 6371000     		do = 182.419086249291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.04939833--2.04920658) × cos(1.42088393) × R
    0.000191749999999935 × 0.149351512384751 × 6371000     		du = 182.453669576011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42091256)-sin(1.42088393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149323203432889-0.149351512384751)×R²
    abs(-2.04920658--2.04939833)×2.83089518616497e-05×R²
    0.000191749999999935×2.83089518616497e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.83089518616497e-05×40589641000000     		ar = 33276.7109482756m²