Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56959 / 44927
↖ ↑ ↗
← N 49.154766°
W 23.557434°		 ← 199.75 m → N 49.154766°
W 23.554687°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
N 49.152970°
W 23.557434°		 ← 199.76 m →
39 898 m²		 N 49.152970°
W 23.554687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434566497802734 y=0.342769622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434566497802734 × 217)
    floor (0.434566497802734 × 131072)
    floor (56959.5)     		tx = 56959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342769622802734 × 217)
    floor (0.342769622802734 × 131072)
    floor (44927.5)     		ty = 44927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56959 / 44927 ti = "17/56959/44927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56959/44927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56959 ÷ 217
    56959 ÷ 131072     		x = 0.434562683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44927 ÷ 217
    44927 ÷ 131072     		y = 0.342765808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434562683105469 × 2 - 1) × π
    -0.130874633789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41115479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342765808105469 × 2 - 1) × π
    0.314468383789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.987931564269737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41115479} λ = -0.41115479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987931564269737))-π/2
    2×atan(2.68567357996505)-π/2
    2×1.2143544182874-π/2
    2.42870883657479-1.57079632675     		φ = 0.85791251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41115479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.557434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85791251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.154766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56959 KachelY 44927 -0.41115479 0.85791251 -23.557434 49.154766
    Oben rechts KachelX + 1 56960 KachelY 44927 -0.41110685 0.85791251 -23.554687 49.154766
    Unten links KachelX 56959 KachelY + 1 44928 -0.41115479 0.85788116 -23.557434 49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 56960 KachelY + 1 44928 -0.41110685 0.85788116 -23.554687 49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85791251-0.85788116) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85791251-0.85788116) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41115479--0.41110685) × cos(0.85791251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654018034251751 × 6371000     		do = 199.753942084555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41115479--0.41110685) × cos(0.85788116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 199.761185345736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85791251)-sin(0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654018034251751-0.654041749545626)×R²
    abs(-0.41110685--0.41115479)×2.37152938749041e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37152938749041e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37152938749041e-05×40589641000000     		ar = 39897.7479980509m²