Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56955 / 84594
↖ ↑ ↗
← S 46.290020°
W 23.568421°		 ← 211.05 m → S 46.290020°
W 23.565674°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
S 46.291918°
W 23.568421°		 ← 211.04 m →
44 533 m²		 S 46.291918°
W 23.565674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434535980224609 y=0.645404815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434535980224609 × 217)
    floor (0.434535980224609 × 131072)
    floor (56955.5)     		tx = 56955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645404815673828 × 217)
    floor (0.645404815673828 × 131072)
    floor (84594.5)     		ty = 84594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56955 / 84594 ti = "17/56955/84594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56955/84594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56955 ÷ 217
    56955 ÷ 131072     		x = 0.434532165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84594 ÷ 217
    84594 ÷ 131072     		y = 0.645401000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434532165527344 × 2 - 1) × π
    -0.130935668945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.41134654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645401000976562 × 2 - 1) × π
    -0.290802001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.91358143295903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41134654} λ = -0.41134654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91358143295903))-π/2
    2×atan(0.401085188952875)-π/2
    2×0.381441534618828-π/2
    0.762883069237657-1.57079632675     		φ = -0.80791326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41134654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.568421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80791326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.290020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56955 KachelY 84594 -0.41134654 -0.80791326 -23.568421 -46.290020
    Oben rechts KachelX + 1 56956 KachelY 84594 -0.41129860 -0.80791326 -23.565674 -46.290020
    Unten links KachelX 56955 KachelY + 1 84595 -0.41134654 -0.80794638 -23.568421 -46.291918
    Unten rechts KachelX + 1 56956 KachelY + 1 84595 -0.41129860 -0.80794638 -23.565674 -46.291918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80791326--0.80794638) × R
    3.31199999999976e-05 × 6371000     		dl = 211.007519999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80791326--0.80794638) × R
    3.31199999999976e-05 × 6371000     		dr = 211.007519999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41134654--0.41129860) × cos(-0.80791326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.691008329668756 × 6371000     		do = 211.051730435105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41134654--0.41129860) × cos(-0.80794638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690984388603931 × 6371000     		du = 211.044418217665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80791326)-sin(-0.80794638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691008329668756-0.690984388603931)×R²
    abs(-0.41129860--0.41134654)×2.39410648250615e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39410648250615e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39410648250615e-05×40589641000000     		ar = 44532.7307684264m²