Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56953 / 44985
↖ ↑ ↗
← N 49.050470°
W 23.573914°		 ← 200.17 m → N 49.050470°
W 23.571167°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
N 49.048670°
W 23.573914°		 ← 200.18 m →
40 058 m²		 N 49.048670°
W 23.571167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434520721435547 y=0.343212127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434520721435547 × 217)
    floor (0.434520721435547 × 131072)
    floor (56953.5)     		tx = 56953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343212127685547 × 217)
    floor (0.343212127685547 × 131072)
    floor (44985.5)     		ty = 44985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56953 / 44985 ti = "17/56953/44985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56953/44985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56953 ÷ 217
    56953 ÷ 131072     		x = 0.434516906738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44985 ÷ 217
    44985 ÷ 131072     		y = 0.343208312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434516906738281 × 2 - 1) × π
    -0.130966186523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.41144241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343208312988281 × 2 - 1) × π
    0.313583374023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.985151224091774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41144241} λ = -0.41144241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985151224091774))-π/2
    2×atan(2.67821686471183)-π/2
    2×1.21344426566784-π/2
    2.42688853133567-1.57079632675     		φ = 0.85609220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41144241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.573914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85609220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.050470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56953 KachelY 44985 -0.41144241 0.85609220 -23.573914 49.050470
    Oben rechts KachelX + 1 56954 KachelY 44985 -0.41139447 0.85609220 -23.571167 49.050470
    Unten links KachelX 56953 KachelY + 1 44986 -0.41144241 0.85606079 -23.573914 49.048670
    Unten rechts KachelX + 1 56954 KachelY + 1 44986 -0.41139447 0.85606079 -23.571167 49.048670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85609220-0.85606079) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dl = 200.113109999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85609220-0.85606079) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dr = 200.113109999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41144241--0.41139447) × cos(0.85609220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655393976146284 × 6371000     		do = 200.17419015589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41144241--0.41139447) × cos(0.85606079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655417699393546 × 6371000     		du = 200.18143584624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85609220)-sin(0.85606079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655393976146284-0.655417699393546)×R²
    abs(-0.41139447--0.41144241)×2.37232472624083e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37232472624083e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37232472624083e-05×40589641000000     		ar = 40058.2047158654m²