Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56952 / 84591
↖ ↑ ↗
← S 46.284326°
W 23.576660°		 ← 211.07 m → S 46.284326°
W 23.573914°		 →
↑
211.07 m
↓
↑
211.07 m
↓
S 46.286224°
W 23.576660°		 ← 211.07 m →
44 551 m²		 S 46.286224°
W 23.573914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434513092041016 y=0.645381927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434513092041016 × 217)
    floor (0.434513092041016 × 131072)
    floor (56952.5)     		tx = 56952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645381927490234 × 217)
    floor (0.645381927490234 × 131072)
    floor (84591.5)     		ty = 84591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56952 / 84591 ti = "17/56952/84591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56952/84591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56952 ÷ 217
    56952 ÷ 131072     		x = 0.43450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84591 ÷ 217
    84591 ÷ 131072     		y = 0.645378112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.1309814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41149035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645378112792969 × 2 - 1) × π
    -0.290756225585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.91343762226017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41149035} λ = -0.41149035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91343762226017))-π/2
    2×atan(0.401142873441925)-π/2
    2×0.381491224396936-π/2
    0.762982448793872-1.57079632675     		φ = -0.80781388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41149035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.576660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80781388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.284326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56952 KachelY 84591 -0.41149035 -0.80781388 -23.576660 -46.284326
    Oben rechts KachelX + 1 56953 KachelY 84591 -0.41144241 -0.80781388 -23.573914 -46.284326
    Unten links KachelX 56952 KachelY + 1 84592 -0.41149035 -0.80784701 -23.576660 -46.286224
    Unten rechts KachelX + 1 56953 KachelY + 1 84592 -0.41144241 -0.80784701 -23.573914 -46.286224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80781388--0.80784701) × R
    3.31300000000478e-05 × 6371000     		dl = 211.071230000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80781388--0.80784701) × R
    3.31300000000478e-05 × 6371000     		dr = 211.071230000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41149035--0.41144241) × cos(-0.80781388) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.691080162770744 × 6371000     		do = 211.073670113681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41149035--0.41144241) × cos(-0.80784701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.691056216752417 × 6371000     		du = 211.066356383313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80781388)-sin(-0.80784701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691080162770744-0.691056216752417)×R²
    abs(-0.41144241--0.41149035)×2.39460183262263e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39460183262263e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39460183262263e-05×40589641000000     		ar = 44550.8073165484m²