Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5695 / 11879
↖ ↑ ↗
← S 62.664055°
W 54.865723°		 ← 1 121.97 m → S 62.664055°
W 54.843750°		 →
↑
1 121.81 m
↓
↑
1 121.81 m
↓
S 62.674144°
W 54.865723°		 ← 1 121.59 m →
1 258 418 m²		 S 62.674144°
W 54.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347625732421875 y=0.725067138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347625732421875 × 214)
    floor (0.347625732421875 × 16384)
    floor (5695.5)     		tx = 5695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725067138671875 × 214)
    floor (0.725067138671875 × 16384)
    floor (11879.5)     		ty = 11879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5695 / 11879 ti = "14/5695/11879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5695/11879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5695 ÷ 214
    5695 ÷ 16384     		x = 0.34759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11879 ÷ 214
    11879 ÷ 16384     		y = 0.72503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.3048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95758751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.4500732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41394679119318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95758751} λ = -0.95758751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41394679119318))-π/2
    2×atan(0.243181599624014)-π/2
    2×0.238551121605209-π/2
    0.477102243210418-1.57079632675     		φ = -1.09369408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95758751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.865723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09369408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.664055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5695 KachelY 11879 -0.95758751 -1.09369408 -54.865723 -62.664055
    Oben rechts KachelX + 1 5696 KachelY 11879 -0.95720401 -1.09369408 -54.843750 -62.664055
    Unten links KachelX 5695 KachelY + 1 11880 -0.95758751 -1.09387016 -54.865723 -62.674144
    Unten rechts KachelX + 1 5696 KachelY + 1 11880 -0.95720401 -1.09387016 -54.843750 -62.674144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09369408--1.09387016) × R
    0.000176080000000134 × 6371000     		dl = 1121.80568000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09369408--1.09387016) × R
    0.000176080000000134 × 6371000     		dr = 1121.80568000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95758751--0.95720401) × cos(-1.09369408) × R
    0.000383499999999981 × 0.459206947985775 × 6371000     		do = 1121.97046306421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95758751--0.95720401) × cos(-1.09387016) × R
    0.000383499999999981 × 0.459050523841437 × 6371000     		du = 1121.58827531546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09369408)-sin(-1.09387016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459206947985775-0.459050523841437)×R²
    abs(-0.95720401--0.95758751)×0.000156424144338363×R²
    0.000383499999999981×0.000156424144338363×6371000²
    0.000383499999999981×0.000156424144338363×40589641000000     		ar = 1258418.47131634m²