Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56946 / 9650
↖ ↑ ↗
← N 77.558675°
E132.813721°		 ← 131.59 m → N 77.558675°
E132.819214°		 →
↑
131.56 m
↓
↑
131.56 m
↓
N 77.557492°
E132.813721°		 ← 131.60 m →
17 313 m²		 N 77.557492°
E132.819214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868934631347656 y=0.147254943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868934631347656 × 216)
    floor (0.868934631347656 × 65536)
    floor (56946.5)     		tx = 56946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147254943847656 × 216)
    floor (0.147254943847656 × 65536)
    floor (9650.5)     		ty = 9650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56946 / 9650 ti = "16/56946/9650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56946/9650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56946 ÷ 216
    56946 ÷ 65536     		x = 0.868927001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9650 ÷ 216
    9650 ÷ 65536     		y = 0.147247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868927001953125 × 2 - 1) × π
    0.73785400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.31803672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147247314453125 × 2 - 1) × π
    0.70550537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21641049083292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31803672} λ = 2.31803672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21641049083292))-π/2
    2×atan(9.17434031270376)-π/2
    2×1.4622252850505-π/2
    2.924450570101-1.57079632675     		φ = 1.35365424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31803672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.813721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35365424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.558675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56946 KachelY 9650 2.31803672 1.35365424 132.813721 77.558675
    Oben rechts KachelX + 1 56947 KachelY 9650 2.31813259 1.35365424 132.819214 77.558675
    Unten links KachelX 56946 KachelY + 1 9651 2.31803672 1.35363359 132.813721 77.557492
    Unten rechts KachelX + 1 56947 KachelY + 1 9651 2.31813259 1.35363359 132.819214 77.557492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35365424-1.35363359) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dl = 131.561149999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35365424-1.35363359) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dr = 131.561149999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31803672-2.31813259) × cos(1.35365424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215439705457309 × 6371000     		do = 131.587937265724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31803672-2.31813259) × cos(1.35363359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215459870490405 × 6371000     		du = 131.60025382132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35365424)-sin(1.35363359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215439705457309-0.215459870490405)×R²
    abs(2.31813259-2.31803672)×2.01650330962644e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01650330962644e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01650330962644e-05×40589641000000     		ar = 17312.6705434636m²