Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56944 / 9648
↖ ↑ ↗
← N 77.561042°
E132.802734°		 ← 131.56 m → N 77.561042°
E132.808227°		 →
↑
131.56 m
↓
↑
131.56 m
↓
N 77.559859°
E132.802734°		 ← 131.58 m →
17 309 m²		 N 77.559859°
E132.808227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868904113769531 y=0.147224426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868904113769531 × 216)
    floor (0.868904113769531 × 65536)
    floor (56944.5)     		tx = 56944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147224426269531 × 216)
    floor (0.147224426269531 × 65536)
    floor (9648.5)     		ty = 9648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56944 / 9648 ti = "16/56944/9648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56944/9648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56944 ÷ 216
    56944 ÷ 65536     		x = 0.868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9648 ÷ 216
    9648 ÷ 65536     		y = 0.147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868896484375 × 2 - 1) × π
    0.73779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.31784497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147216796875 × 2 - 1) × π
    0.70556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2166022384314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31784497} λ = 2.31784497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2166022384314))-π/2
    2×atan(9.17609963909427)-π/2
    2×1.4622459381396-π/2
    2.9244918762792-1.57079632675     		φ = 1.35369555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31784497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.802734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35369555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.561042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56944 KachelY 9648 2.31784497 1.35369555 132.802734 77.561042
    Oben rechts KachelX + 1 56945 KachelY 9648 2.31794084 1.35369555 132.808227 77.561042
    Unten links KachelX 56944 KachelY + 1 9649 2.31784497 1.35367490 132.802734 77.559859
    Unten rechts KachelX + 1 56945 KachelY + 1 9649 2.31794084 1.35367490 132.808227 77.559859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35369555-1.35367490) × R
    2.06500000001775e-05 × 6371000     		dl = 131.561150001131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35369555-1.35367490) × R
    2.06500000001775e-05 × 6371000     		dr = 131.561150001131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31784497-2.31794084) × cos(1.35369555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215399365350259 × 6371000     		do = 131.563298021697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31784497-2.31794084) × cos(1.35367490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215419530567128 × 6371000     		du = 131.57561468954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35369555)-sin(1.35367490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215399365350259-0.215419530567128)×R²
    abs(2.31794084-2.31784497)×2.01652168690392e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01652168690392e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01652168690392e-05×40589641000000     		ar = 17309.4289839788m²