Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 56943 / 9647
↖ ↑ ↗
← N 77.562225°
E132.797241°		 ← 131.55 m → N 77.562225°
E132.802734°		 →
↑
131.56 m
↓
↑
131.56 m
↓
N 77.561042°
E132.797241°		 ← 131.56 m →
17 308 m²		 N 77.561042°
E132.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868888854980469 y=0.147209167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868888854980469 × 216)
    floor (0.868888854980469 × 65536)
    floor (56943.5)     		tx = 56943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147209167480469 × 216)
    floor (0.147209167480469 × 65536)
    floor (9647.5)     		ty = 9647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56943 / 9647 ti = "16/56943/9647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56943/9647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56943 ÷ 216
    56943 ÷ 65536     		x = 0.868881225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9647 ÷ 216
    9647 ÷ 65536     		y = 0.147201538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868881225585938 × 2 - 1) × π
    0.737762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.31774910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147201538085938 × 2 - 1) × π
    0.705596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21669811223064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31774910} λ = 2.31774910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21669811223064))-π/2
    2×atan(9.1769794288026)-π/2
    2×1.46225626323404-π/2
    2.92451252646807-1.57079632675     		φ = 1.35371620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31774910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.797241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35371620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.562225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56943 KachelY 9647 2.31774910 1.35371620 132.797241 77.562225
    Oben rechts KachelX + 1 56944 KachelY 9647 2.31784497 1.35371620 132.802734 77.562225
    Unten links KachelX 56943 KachelY + 1 9648 2.31774910 1.35369555 132.797241 77.561042
    Unten rechts KachelX + 1 56944 KachelY + 1 9648 2.31784497 1.35369555 132.802734 77.561042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35371620-1.35369555) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dl = 131.561149999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35371620-1.35369555) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dr = 131.561149999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31774910-2.31784497) × cos(1.35371620) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215379200041539 × 6371000     		do = 131.550981297753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31774910-2.31784497) × cos(1.35369555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215399365350259 × 6371000     		du = 131.563298021697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35371620)-sin(1.35369555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215379200041539-0.215399365350259)×R²
    abs(2.31784497-2.31774910)×2.01653087199827e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01653087199827e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01653087199827e-05×40589641000000     		ar = 17307.8085848497m²