Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56942 / 29168
↖ ↑ ↗
← N 70.155288°
W 23.604126°		 ← 103.68 m → N 70.155288°
W 23.601379°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
N 70.154356°
W 23.604126°		 ← 103.69 m →
10 748 m²		 N 70.154356°
W 23.601379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434436798095703 y=0.222537994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434436798095703 × 217)
    floor (0.434436798095703 × 131072)
    floor (56942.5)     		tx = 56942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222537994384766 × 217)
    floor (0.222537994384766 × 131072)
    floor (29168.5)     		ty = 29168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56942 / 29168 ti = "17/56942/29168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56942/29168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56942 ÷ 217
    56942 ÷ 131072     		x = 0.434432983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29168 ÷ 217
    29168 ÷ 131072     		y = 0.2225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434432983398438 × 2 - 1) × π
    -0.131134033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41196972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2225341796875 × 2 - 1) × π
    0.554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7433691653822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41196972} λ = -0.41196972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7433691653822))-π/2
    2×atan(5.716571087305)-π/2
    2×1.3976185438106-π/2
    2.79523708762119-1.57079632675     		φ = 1.22444076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41196972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.604126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22444076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.155288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56942 KachelY 29168 -0.41196972 1.22444076 -23.604126 70.155288
    Oben rechts KachelX + 1 56943 KachelY 29168 -0.41192178 1.22444076 -23.601379 70.155288
    Unten links KachelX 56942 KachelY + 1 29169 -0.41196972 1.22442449 -23.604126 70.154356
    Unten rechts KachelX + 1 56943 KachelY + 1 29169 -0.41192178 1.22442449 -23.601379 70.154356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22444076-1.22442449) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22444076-1.22442449) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41196972--0.41192178) × cos(1.22444076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339472056763622 × 6371000     		do = 103.683504146283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41196972--0.41192178) × cos(1.22442449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339487360543287 × 6371000     		du = 103.688178314512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22444076)-sin(1.22442449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339472056763622-0.339487360543287)×R²
    abs(-0.41192178--0.41196972)×1.53037796644107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53037796644107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53037796644107e-05×40589641000000     		ar = 10747.6771852142m²