Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56941 / 8989
↖ ↑ ↗
← N 78.317197°
E132.786255°		 ← 123.68 m → N 78.317197°
E132.791748°		 →
↑
123.72 m
↓
↑
123.72 m
↓
N 78.316084°
E132.786255°		 ← 123.69 m →
15 303 m²		 N 78.316084°
E132.791748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868858337402344 y=0.137168884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868858337402344 × 216)
    floor (0.868858337402344 × 65536)
    floor (56941.5)     		tx = 56941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137168884277344 × 216)
    floor (0.137168884277344 × 65536)
    floor (8989.5)     		ty = 8989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56941 / 8989 ti = "16/56941/8989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56941/8989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56941 ÷ 216
    56941 ÷ 65536     		x = 0.868850708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8989 ÷ 216
    8989 ÷ 65536     		y = 0.137161254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868850708007812 × 2 - 1) × π
    0.737701416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.31755735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137161254882812 × 2 - 1) × π
    0.725677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27978307213063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31755735} λ = 2.31755735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27978307213063))-π/2
    2×atan(9.77455980509558)-π/2
    2×1.46884463781735-π/2
    2.9376892756347-1.57079632675     		φ = 1.36689295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31755735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.786255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36689295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.317197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56941 KachelY 8989 2.31755735 1.36689295 132.786255 78.317197
    Oben rechts KachelX + 1 56942 KachelY 8989 2.31765322 1.36689295 132.791748 78.317197
    Unten links KachelX 56941 KachelY + 1 8990 2.31755735 1.36687353 132.786255 78.316084
    Unten rechts KachelX + 1 56942 KachelY + 1 8990 2.31765322 1.36687353 132.791748 78.316084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36689295-1.36687353) × R
    1.94200000001032e-05 × 6371000     		dl = 123.724820000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36689295-1.36687353) × R
    1.94200000001032e-05 × 6371000     		dr = 123.724820000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31755735-2.31765322) × cos(1.36689295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202493376722002 × 6371000     		do = 123.680478007799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31755735-2.31765322) × cos(1.36687353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202512394371955 × 6371000     		du = 123.692093755804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36689295)-sin(1.36687353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202493376722002-0.202512394371955)×R²
    abs(2.31765322-2.31755735)×1.90176499532957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90176499532957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90176499532957e-05×40589641000000     		ar = 15303.0634578167m²