Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5694 / 11902
↖ ↑ ↗
← S 62.895218°
W 54.887695°		 ← 1 113.18 m → S 62.895218°
W 54.865723°		 →
↑
1 113.01 m
↓
↑
1 113.01 m
↓
S 62.905227°
W 54.887695°		 ← 1 112.80 m →
1 238 768 m²		 S 62.905227°
W 54.865723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347564697265625 y=0.726470947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347564697265625 × 214)
    floor (0.347564697265625 × 16384)
    floor (5694.5)     		tx = 5694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726470947265625 × 214)
    floor (0.726470947265625 × 16384)
    floor (11902.5)     		ty = 11902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5694 / 11902 ti = "14/5694/11902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5694/11902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5694 ÷ 214
    5694 ÷ 16384     		x = 0.3475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11902 ÷ 214
    11902 ÷ 16384     		y = 0.7264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95797100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.452880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42276718072327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95797100} λ = -0.95797100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42276718072327))-π/2
    2×atan(0.241046075112969)-π/2
    2×0.236533848448564-π/2
    0.473067696897128-1.57079632675     		φ = -1.09772863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95797100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.887695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09772863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.895218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5694 KachelY 11902 -0.95797100 -1.09772863 -54.887695 -62.895218
    Oben rechts KachelX + 1 5695 KachelY 11902 -0.95758751 -1.09772863 -54.865723 -62.895218
    Unten links KachelX 5694 KachelY + 1 11903 -0.95797100 -1.09790333 -54.887695 -62.905227
    Unten rechts KachelX + 1 5695 KachelY + 1 11903 -0.95758751 -1.09790333 -54.865723 -62.905227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09772863--1.09790333) × R
    0.000174700000000083 × 6371000     		dl = 1113.01370000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09772863--1.09790333) × R
    0.000174700000000083 × 6371000     		dr = 1113.01370000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95797100--0.95758751) × cos(-1.09772863) × R
    0.000383490000000042 × 0.455619211268144 × 6371000     		do = 1113.17559557858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95797100--0.95758751) × cos(-1.09790333) × R
    0.000383490000000042 × 0.455463690782553 × 6371000     		du = 1112.79562562804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09772863)-sin(-1.09790333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455619211268144-0.455463690782553)×R²
    abs(-0.95758751--0.95797100)×0.000155520485590865×R²
    0.000383490000000042×0.000155520485590865×6371000²
    0.000383490000000042×0.000155520485590865×40589641000000     		ar = 1238768.23565666m²