Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56939 / 29165
↖ ↑ ↗
← N 70.158085°
W 23.612366°		 ← 103.67 m → N 70.158085°
W 23.609619°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
N 70.157153°
W 23.612366°		 ← 103.67 m →
10 746 m²		 N 70.157153°
W 23.609619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434413909912109 y=0.222515106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434413909912109 × 217)
    floor (0.434413909912109 × 131072)
    floor (56939.5)     		tx = 56939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222515106201172 × 217)
    floor (0.222515106201172 × 131072)
    floor (29165.5)     		ty = 29165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56939 / 29165 ti = "17/56939/29165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56939/29165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56939 ÷ 217
    56939 ÷ 131072     		x = 0.434410095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29165 ÷ 217
    29165 ÷ 131072     		y = 0.222511291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434410095214844 × 2 - 1) × π
    -0.131179809570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.41211353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222511291503906 × 2 - 1) × π
    0.554977416992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.74351297608106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41211353} λ = -0.41211353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74351297608106))-π/2
    2×atan(5.71739325050466)-π/2
    2×1.3976429520165-π/2
    2.795285904033-1.57079632675     		φ = 1.22448958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41211353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.612366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22448958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.158085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56939 KachelY 29165 -0.41211353 1.22448958 -23.612366 70.158085
    Oben rechts KachelX + 1 56940 KachelY 29165 -0.41206559 1.22448958 -23.609619 70.158085
    Unten links KachelX 56939 KachelY + 1 29166 -0.41211353 1.22447331 -23.612366 70.157153
    Unten rechts KachelX + 1 56940 KachelY + 1 29166 -0.41206559 1.22447331 -23.609619 70.157153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22448958-1.22447331) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22448958-1.22447331) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41211353--0.41206559) × cos(1.22448958) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.339426135479142 × 6371000     		do = 103.669478604109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41211353--0.41206559) × cos(1.22447331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.339441439528438 × 6371000     		du = 103.67415285469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22448958)-sin(1.22447331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339426135479142-0.339441439528438)×R²
    abs(-0.41206559--0.41211353)×1.53040492953949e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.53040492953949e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.53040492953949e-05×40589641000000     		ar = 10746.2233554499m²