Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56938 / 9656
↖ ↑ ↗
← N 77.551572°
E132.769776°		 ← 131.66 m → N 77.551572°
E132.775268°		 →
↑
131.69 m
↓
↑
131.69 m
↓
N 77.550388°
E132.769776°		 ← 131.67 m →
17 339 m²		 N 77.550388°
E132.775268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868812561035156 y=0.147346496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868812561035156 × 216)
    floor (0.868812561035156 × 65536)
    floor (56938.5)     		tx = 56938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147346496582031 × 216)
    floor (0.147346496582031 × 65536)
    floor (9656.5)     		ty = 9656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56938 / 9656 ti = "16/56938/9656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56938/9656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56938 ÷ 216
    56938 ÷ 65536     		x = 0.868804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9656 ÷ 216
    9656 ÷ 65536     		y = 0.1473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868804931640625 × 2 - 1) × π
    0.73760986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31726973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1473388671875 × 2 - 1) × π
    0.705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21583524803748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31726973} λ = 2.31726973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21583524803748))-π/2
    2×atan(9.16906435715915)-π/2
    2×1.46216330257516-π/2
    2.92432660515032-1.57079632675     		φ = 1.35353028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31726973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.769776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35353028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.551572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56938 KachelY 9656 2.31726973 1.35353028 132.769776 77.551572
    Oben rechts KachelX + 1 56939 KachelY 9656 2.31736560 1.35353028 132.775268 77.551572
    Unten links KachelX 56938 KachelY + 1 9657 2.31726973 1.35350961 132.769776 77.550388
    Unten rechts KachelX + 1 56939 KachelY + 1 9657 2.31736560 1.35350961 132.775268 77.550388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35353028-1.35350961) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dl = 131.688570000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35353028-1.35350961) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dr = 131.688570000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31726973-2.31736560) × cos(1.35353028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215560752866987 × 6371000     		do = 131.661871543145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31726973-2.31736560) × cos(1.35350961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215580936878145 × 6371000     		du = 131.67419969031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35353028)-sin(1.35350961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215560752866987-0.215580936878145)×R²
    abs(2.31736560-2.31726973)×2.01840111582197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01840111582197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01840111582197e-05×40589641000000     		ar = 17339.1753258109m²