Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 56938 / 8988
↖ ↑ ↗
← N 78.318309°
E132.769776°		 ← 123.67 m → N 78.318309°
E132.775268°		 →
↑
123.66 m
↓
↑
123.66 m
↓
N 78.317197°
E132.769776°		 ← 123.68 m →
15 294 m²		 N 78.317197°
E132.775268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868812561035156 y=0.137153625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868812561035156 × 216)
    floor (0.868812561035156 × 65536)
    floor (56938.5)     		tx = 56938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137153625488281 × 216)
    floor (0.137153625488281 × 65536)
    floor (8988.5)     		ty = 8988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56938 / 8988 ti = "16/56938/8988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56938/8988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56938 ÷ 216
    56938 ÷ 65536     		x = 0.868804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8988 ÷ 216
    8988 ÷ 65536     		y = 0.13714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868804931640625 × 2 - 1) × π
    0.73760986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31726973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13714599609375 × 2 - 1) × π
    0.7257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27987894592987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31726973} λ = 2.31726973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27987894592987))-π/2
    2×atan(9.77549697420425)-π/2
    2×1.46885434426641-π/2
    2.93770868853282-1.57079632675     		φ = 1.36691236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31726973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.769776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36691236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.318309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56938 KachelY 8988 2.31726973 1.36691236 132.769776 78.318309
    Oben rechts KachelX + 1 56939 KachelY 8988 2.31736560 1.36691236 132.775268 78.318309
    Unten links KachelX 56938 KachelY + 1 8989 2.31726973 1.36689295 132.769776 78.317197
    Unten rechts KachelX + 1 56939 KachelY + 1 8989 2.31736560 1.36689295 132.775268 78.317197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36691236-1.36689295) × R
    1.9409999999942e-05 × 6371000     		dl = 123.66110999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36691236-1.36689295) × R
    1.9409999999942e-05 × 6371000     		dr = 123.66110999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31726973-2.31736560) × cos(1.36691236) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202474368788557 × 6371000     		do = 123.668868194517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31726973-2.31736560) × cos(1.36689295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202493376722002 × 6371000     		du = 123.680478007799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36691236)-sin(1.36689295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202474368788557-0.202493376722002)×R²
    abs(2.31736560-2.31726973)×1.90079334451143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90079334451143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90079334451143e-05×40589641000000     		ar = 15293.7473551038m²