Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56938 / 29164
↖ ↑ ↗
← N 70.159017°
W 23.615112°		 ← 103.64 m → N 70.159017°
W 23.612366°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
N 70.158085°
W 23.615112°		 ← 103.65 m →
10 743 m²		 N 70.158085°
W 23.612366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434406280517578 y=0.222507476806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434406280517578 × 217)
    floor (0.434406280517578 × 131072)
    floor (56938.5)     		tx = 56938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222507476806641 × 217)
    floor (0.222507476806641 × 131072)
    floor (29164.5)     		ty = 29164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56938 / 29164 ti = "17/56938/29164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56938/29164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56938 ÷ 217
    56938 ÷ 131072     		x = 0.434402465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29164 ÷ 217
    29164 ÷ 131072     		y = 0.222503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434402465820312 × 2 - 1) × π
    -0.131195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41216146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222503662109375 × 2 - 1) × π
    0.55499267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74356091298068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41216146} λ = -0.41216146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74356091298068))-π/2
    2×atan(5.71766733118024)-π/2
    2×1.39765108735144-π/2
    2.79530217470288-1.57079632675     		φ = 1.22450585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41216146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.615112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22450585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.159017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56938 KachelY 29164 -0.41216146 1.22450585 -23.615112 70.159017
    Oben rechts KachelX + 1 56939 KachelY 29164 -0.41211353 1.22450585 -23.612366 70.159017
    Unten links KachelX 56938 KachelY + 1 29165 -0.41216146 1.22448958 -23.615112 70.158085
    Unten rechts KachelX + 1 56939 KachelY + 1 29165 -0.41211353 1.22448958 -23.612366 70.158085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22450585-1.22448958) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22450585-1.22448958) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41216146--0.41211353) × cos(1.22450585) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.339410831339996 × 6371000     		do = 103.643180461912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41216146--0.41211353) × cos(1.22448958) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.339426135479142 × 6371000     		du = 103.647853764909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22450585)-sin(1.22448958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339410831339996-0.339426135479142)×R²
    abs(-0.41211353--0.41216146)×1.53041391458553e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.53041391458553e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.53041391458553e-05×40589641000000     		ar = 10743.4973418808m²