Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56937 / 42657
↖ ↑ ↗
← N 53.065976°
W 23.617859°		 ← 183.53 m → N 53.065976°
W 23.615112°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
N 53.064326°
W 23.617859°		 ← 183.54 m →
33 687 m²		 N 53.064326°
W 23.615112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434398651123047 y=0.325450897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434398651123047 × 217)
    floor (0.434398651123047 × 131072)
    floor (56937.5)     		tx = 56937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325450897216797 × 217)
    floor (0.325450897216797 × 131072)
    floor (42657.5)     		ty = 42657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56937 / 42657 ti = "17/56937/42657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56937/42657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56937 ÷ 217
    56937 ÷ 131072     		x = 0.434394836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42657 ÷ 217
    42657 ÷ 131072     		y = 0.325447082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434394836425781 × 2 - 1) × π
    -0.131210327148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.41220940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325447082519531 × 2 - 1) × π
    0.349105834960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.09674832640726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41220940} λ = -0.41220940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09674832640726))-π/2
    2×atan(2.99441332151391)-π/2
    2×1.24848616670684-π/2
    2.49697233341368-1.57079632675     		φ = 0.92617601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41220940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.617859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92617601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.065976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56937 KachelY 42657 -0.41220940 0.92617601 -23.617859 53.065976
    Oben rechts KachelX + 1 56938 KachelY 42657 -0.41216146 0.92617601 -23.615112 53.065976
    Unten links KachelX 56937 KachelY + 1 42658 -0.41220940 0.92614720 -23.617859 53.064326
    Unten rechts KachelX + 1 56938 KachelY + 1 42658 -0.41216146 0.92614720 -23.615112 53.064326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92617601-0.92614720) × R
    2.88100000001013e-05 × 6371000     		dl = 183.548510000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92617601-0.92614720) × R
    2.88100000001013e-05 × 6371000     		dr = 183.548510000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41220940--0.41216146) × cos(0.92617601) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.600894990426437 × 6371000     		do = 183.52879711338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41220940--0.41216146) × cos(0.92614720) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.600918018815997 × 6371000     		du = 183.535830576302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92617601)-sin(0.92614720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600894990426437-0.600918018815997)×R²
    abs(-0.41216146--0.41220940)×2.30283895599204e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30283895599204e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30283895599204e-05×40589641000000     		ar = 33687.0827456024m²