Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56937 / 29807
↖ ↑ ↗
← N 69.550837°
W 23.617859°		 ← 106.71 m → N 69.550837°
W 23.615112°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
N 69.549877°
W 23.617859°		 ← 106.71 m →
11 388 m²		 N 69.549877°
W 23.615112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434398651123047 y=0.227413177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434398651123047 × 217)
    floor (0.434398651123047 × 131072)
    floor (56937.5)     		tx = 56937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227413177490234 × 217)
    floor (0.227413177490234 × 131072)
    floor (29807.5)     		ty = 29807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56937 / 29807 ti = "17/56937/29807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56937/29807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56937 ÷ 217
    56937 ÷ 131072     		x = 0.434394836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29807 ÷ 217
    29807 ÷ 131072     		y = 0.227409362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434394836425781 × 2 - 1) × π
    -0.131210327148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.41220940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227409362792969 × 2 - 1) × π
    0.545181274414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.71273748652499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41220940} λ = -0.41220940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71273748652499))-π/2
    2×atan(5.54411767063841)-π/2
    2×1.39234371405755-π/2
    2.78468742811511-1.57079632675     		φ = 1.21389110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41220940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.617859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21389110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.550837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56937 KachelY 29807 -0.41220940 1.21389110 -23.617859 69.550837
    Oben rechts KachelX + 1 56938 KachelY 29807 -0.41216146 1.21389110 -23.615112 69.550837
    Unten links KachelX 56937 KachelY + 1 29808 -0.41220940 1.21387435 -23.617859 69.549877
    Unten rechts KachelX + 1 56938 KachelY + 1 29808 -0.41216146 1.21387435 -23.615112 69.549877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21389110-1.21387435) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dl = 106.714249999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21389110-1.21387435) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dr = 106.714249999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41220940--0.41216146) × cos(1.21389110) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349376162512612 × 6371000     		do = 106.708472973828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41220940--0.41216146) × cos(1.21387435) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349391856921296 × 6371000     		du = 106.713266450214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21389110)-sin(1.21387435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349376162512612-0.349391856921296)×R²
    abs(-0.41216146--0.41220940)×1.56944086834865e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56944086834865e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56944086834865e-05×40589641000000     		ar = 11387.5704283797m²