Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 56936 / 8982
↖ ↑ ↗
← N 78.324981°
E132.758789°		 ← 123.60 m → N 78.324981°
E132.764282°		 →
↑
123.60 m
↓
↑
123.60 m
↓
N 78.323869°
E132.758789°		 ← 123.61 m →
15 277 m²		 N 78.323869°
E132.764282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868782043457031 y=0.137062072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868782043457031 × 216)
    floor (0.868782043457031 × 65536)
    floor (56936.5)     		tx = 56936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137062072753906 × 216)
    floor (0.137062072753906 × 65536)
    floor (8982.5)     		ty = 8982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56936 / 8982 ti = "16/56936/8982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56936/8982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56936 ÷ 216
    56936 ÷ 65536     		x = 0.8687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8982 ÷ 216
    8982 ÷ 65536     		y = 0.137054443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8687744140625 × 2 - 1) × π
    0.737548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31707798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137054443359375 × 2 - 1) × π
    0.72589111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28045418872531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31707798} λ = 2.31707798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28045418872531))-π/2
    2×atan(9.78112187609755)-π/2
    2×1.46891256382685-π/2
    2.93782512765369-1.57079632675     		φ = 1.36702880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31707798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.758789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36702880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.324981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56936 KachelY 8982 2.31707798 1.36702880 132.758789 78.324981
    Oben rechts KachelX + 1 56937 KachelY 8982 2.31717385 1.36702880 132.764282 78.324981
    Unten links KachelX 56936 KachelY + 1 8983 2.31707798 1.36700940 132.758789 78.323869
    Unten rechts KachelX + 1 56937 KachelY + 1 8983 2.31717385 1.36700940 132.764282 78.323869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36702880-1.36700940) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dl = 123.597400000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36702880-1.36700940) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dr = 123.597400000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31707798-2.31717385) × cos(1.36702880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20236033917244 × 6371000     		do = 123.599220299576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31707798-2.31717385) × cos(1.36700940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202379337770318 × 6371000     		du = 123.610824410807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36702880)-sin(1.36700940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20236033917244-0.202379337770318)×R²
    abs(2.31717385-2.31707798)×1.89985978781559e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89985978781559e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89985978781559e-05×40589641000000     		ar = 15277.2593907899m²