Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56935 / 42661
↖ ↑ ↗
← N 53.059374°
W 23.623352°		 ← 183.52 m → N 53.059374°
W 23.620606°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
N 53.057724°
W 23.623352°		 ← 183.53 m →
33 685 m²		 N 53.057724°
W 23.620606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434383392333984 y=0.325481414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434383392333984 × 217)
    floor (0.434383392333984 × 131072)
    floor (56935.5)     		tx = 56935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325481414794922 × 217)
    floor (0.325481414794922 × 131072)
    floor (42661.5)     		ty = 42661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56935 / 42661 ti = "17/56935/42661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56935/42661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56935 ÷ 217
    56935 ÷ 131072     		x = 0.434379577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42661 ÷ 217
    42661 ÷ 131072     		y = 0.325477600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434379577636719 × 2 - 1) × π
    -0.131240844726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.41230527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325477600097656 × 2 - 1) × π
    0.349044799804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.09655657880878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41230527} λ = -0.41230527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09655657880878))-π/2
    2×atan(2.99383920499514)-π/2
    2×1.24842855220588-π/2
    2.49685710441176-1.57079632675     		φ = 0.92606078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41230527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.623352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92606078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.059374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56935 KachelY 42661 -0.41230527 0.92606078 -23.623352 53.059374
    Oben rechts KachelX + 1 56936 KachelY 42661 -0.41225734 0.92606078 -23.620606 53.059374
    Unten links KachelX 56935 KachelY + 1 42662 -0.41230527 0.92603197 -23.623352 53.057724
    Unten rechts KachelX + 1 56936 KachelY + 1 42662 -0.41225734 0.92603197 -23.620606 53.057724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92606078-0.92603197) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dl = 183.548509999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92606078-0.92603197) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dr = 183.548509999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41230527--0.41225734) × cos(0.92606078) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.600987092999383 × 6371000     		do = 183.51863872199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41230527--0.41225734) × cos(0.92603197) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.601010119393915 × 6371000     		du = 183.525670108568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92606078)-sin(0.92603197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600987092999383-0.601010119393915)×R²
    abs(-0.41225734--0.41230527)×2.30263945317777e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30263945317777e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30263945317777e-05×40589641000000     		ar = 33685.217997372m²