Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56932 / 29795
↖ ↑ ↗
← N 69.562349°
W 23.631592°		 ← 106.63 m → N 69.562349°
W 23.628845°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
N 69.561390°
W 23.631592°		 ← 106.63 m →
11 372 m²		 N 69.561390°
W 23.628845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434360504150391 y=0.227321624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434360504150391 × 217)
    floor (0.434360504150391 × 131072)
    floor (56932.5)     		tx = 56932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227321624755859 × 217)
    floor (0.227321624755859 × 131072)
    floor (29795.5)     		ty = 29795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56932 / 29795 ti = "17/56932/29795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56932/29795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56932 ÷ 217
    56932 ÷ 131072     		x = 0.434356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29795 ÷ 217
    29795 ÷ 131072     		y = 0.227317810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.13128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41244908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227317810058594 × 2 - 1) × π
    0.545364379882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.71331272932043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41244908} λ = -0.41244908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71331272932043))-π/2
    2×atan(5.54730780184755)-π/2
    2×1.39244417504043-π/2
    2.78488835008085-1.57079632675     		φ = 1.21409202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41244908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.631592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21409202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.562349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56932 KachelY 29795 -0.41244908 1.21409202 -23.631592 69.562349
    Oben rechts KachelX + 1 56933 KachelY 29795 -0.41240115 1.21409202 -23.628845 69.562349
    Unten links KachelX 56932 KachelY + 1 29796 -0.41244908 1.21407528 -23.631592 69.561390
    Unten rechts KachelX + 1 56933 KachelY + 1 29796 -0.41240115 1.21407528 -23.628845 69.561390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21409202-1.21407528) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21409202-1.21407528) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41244908--0.41240115) × cos(1.21409202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349187896928184 × 6371000     		do = 106.628725057486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41244908--0.41240115) × cos(1.21407528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349203583141902 × 6371000     		du = 106.63351503155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21409202)-sin(1.21407528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349187896928184-0.349203583141902)×R²
    abs(-0.41240115--0.41244908)×1.56862137183356e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56862137183356e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56862137183356e-05×40589641000000     		ar = 11372.2665336832m²