Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5693 / 11857
↖ ↑ ↗
← S 62.441242°
W 54.909668°		 ← 1 130.40 m → S 62.441242°
W 54.887695°		 →
↑
1 130.22 m
↓
↑
1 130.22 m
↓
S 62.451406°
W 54.909668°		 ← 1 130.02 m →
1 277 381 m²		 S 62.451406°
W 54.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347503662109375 y=0.723724365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347503662109375 × 214)
    floor (0.347503662109375 × 16384)
    floor (5693.5)     		tx = 5693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723724365234375 × 214)
    floor (0.723724365234375 × 16384)
    floor (11857.5)     		ty = 11857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5693 / 11857 ti = "14/5693/11857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5693/11857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5693 ÷ 214
    5693 ÷ 16384     		x = 0.34747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11857 ÷ 214
    11857 ÷ 16384     		y = 0.72369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.3050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95835450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.4473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40550989686005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95835450} λ = -0.95835450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40550989686005))-π/2
    2×atan(0.245241976452942)-π/2
    2×0.240495534299705-π/2
    0.48099106859941-1.57079632675     		φ = -1.08980526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95835450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08980526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.441242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5693 KachelY 11857 -0.95835450 -1.08980526 -54.909668 -62.441242
    Oben rechts KachelX + 1 5694 KachelY 11857 -0.95797100 -1.08980526 -54.887695 -62.441242
    Unten links KachelX 5693 KachelY + 1 11858 -0.95835450 -1.08998266 -54.909668 -62.451406
    Unten rechts KachelX + 1 5694 KachelY + 1 11858 -0.95797100 -1.08998266 -54.887695 -62.451406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08980526--1.08998266) × R
    0.000177399999999883 × 6371000     		dl = 1130.21539999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08980526--1.08998266) × R
    0.000177399999999883 × 6371000     		dr = 1130.21539999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95835450--0.95797100) × cos(-1.08980526) × R
    0.000383499999999981 × 0.462658019829959 × 6371000     		do = 1130.40239270306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95835450--0.95797100) × cos(-1.08998266) × R
    0.000383499999999981 × 0.462500740916468 × 6371000     		du = 1130.01811651522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08980526)-sin(-1.08998266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462658019829959-0.462500740916468)×R²
    abs(-0.95797100--0.95835450)×0.000157278913491044×R²
    0.000383499999999981×0.000157278913491044×6371000²
    0.000383499999999981×0.000157278913491044×40589641000000     		ar = 1277381.03834691m²