Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56924 / 18128
↖ ↑ ↗
← N 78.233478°
W 23.653564°		 ← 62.28 m → N 78.233478°
W 23.650818°		 →
↑
62.31 m
↓
↑
62.31 m
↓
N 78.232918°
W 23.653564°		 ← 62.29 m →
3 881 m²		 N 78.232918°
W 23.650818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434299468994141 y=0.138309478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434299468994141 × 217)
    floor (0.434299468994141 × 131072)
    floor (56924.5)     		tx = 56924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138309478759766 × 217)
    floor (0.138309478759766 × 131072)
    floor (18128.5)     		ty = 18128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56924 / 18128 ti = "17/56924/18128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56924/18128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56924 ÷ 217
    56924 ÷ 131072     		x = 0.434295654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18128 ÷ 217
    18128 ÷ 131072     		y = 0.1383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434295654296875 × 2 - 1) × π
    -0.13140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41283258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1383056640625 × 2 - 1) × π
    0.723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27259253718762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41283258} λ = -0.41283258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27259253718762))-π/2
    2×atan(9.70452757759805)-π/2
    2×1.46811405099984-π/2
    2.93622810199968-1.57079632675     		φ = 1.36543178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41283258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.653564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36543178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.233478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56924 KachelY 18128 -0.41283258 1.36543178 -23.653564 78.233478
    Oben rechts KachelX + 1 56925 KachelY 18128 -0.41278464 1.36543178 -23.650818 78.233478
    Unten links KachelX 56924 KachelY + 1 18129 -0.41283258 1.36542200 -23.653564 78.232918
    Unten rechts KachelX + 1 56925 KachelY + 1 18129 -0.41278464 1.36542200 -23.650818 78.232918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36543178-1.36542200) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dl = 62.3083800004478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36543178-1.36542200) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dr = 62.3083800004478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41283258--0.41278464) × cos(1.36543178) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.203924059914323 × 6371000     		do = 62.2836569031679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41283258--0.41278464) × cos(1.36542200) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.203933634394592 × 6371000     		du = 62.2865811958889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36543178)-sin(1.36542200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203924059914323-0.203933634394592)×R²
    abs(-0.41278464--0.41283258)×9.57448026836505e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.57448026836505e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.57448026836505e-06×40589641000000     		ar = 3880.88486611046m²