Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56923 / 9657
↖ ↑ ↗
← N 77.550388°
E132.687378°		 ← 131.67 m → N 77.550388°
E132.692871°		 →
↑
131.69 m
↓
↑
131.69 m
↓
N 77.549204°
E132.687378°		 ← 131.69 m →
17 341 m²		 N 77.549204°
E132.692871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868583679199219 y=0.147361755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868583679199219 × 216)
    floor (0.868583679199219 × 65536)
    floor (56923.5)     		tx = 56923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147361755371094 × 216)
    floor (0.147361755371094 × 65536)
    floor (9657.5)     		ty = 9657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56923 / 9657 ti = "16/56923/9657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56923/9657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56923 ÷ 216
    56923 ÷ 65536     		x = 0.868576049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9657 ÷ 216
    9657 ÷ 65536     		y = 0.147354125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868576049804688 × 2 - 1) × π
    0.737152099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31583162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147354125976562 × 2 - 1) × π
    0.705291748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21573937423824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31583162} λ = 2.31583162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21573937423824))-π/2
    2×atan(9.16818532626244)-π/2
    2×1.4621529687772-π/2
    2.92430593755439-1.57079632675     		φ = 1.35350961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31583162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.687378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35350961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.550388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56923 KachelY 9657 2.31583162 1.35350961 132.687378 77.550388
    Oben rechts KachelX + 1 56924 KachelY 9657 2.31592749 1.35350961 132.692871 77.550388
    Unten links KachelX 56923 KachelY + 1 9658 2.31583162 1.35348894 132.687378 77.549204
    Unten rechts KachelX + 1 56924 KachelY + 1 9658 2.31592749 1.35348894 132.692871 77.549204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35350961-1.35348894) × R
    2.06699999998339e-05 × 6371000     		dl = 131.688569998942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35350961-1.35348894) × R
    2.06699999998339e-05 × 6371000     		dr = 131.688569998942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31583162-2.31592749) × cos(1.35350961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215580936878145 × 6371000     		do = 131.67419969031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31583162-2.31592749) × cos(1.35348894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215601120797196 × 6371000     		du = 131.686527781217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35350961)-sin(1.35348894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215580936878145-0.215601120797196)×R²
    abs(2.31592749-2.31583162)×2.01839190512865e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01839190512865e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01839190512865e-05×40589641000000     		ar = 17340.7987979287m²