Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5692 / 11862
↖ ↑ ↗
← S 62.492028°
W 54.931640°		 ← 1 128.45 m → S 62.492028°
W 54.909668°		 →
↑
1 128.30 m
↓
↑
1 128.30 m
↓
S 62.502175°
W 54.931640°		 ← 1 128.07 m →
1 273 021 m²		 S 62.502175°
W 54.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347442626953125 y=0.724029541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347442626953125 × 214)
    floor (0.347442626953125 × 16384)
    floor (5692.5)     		tx = 5692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724029541015625 × 214)
    floor (0.724029541015625 × 16384)
    floor (11862.5)     		ty = 11862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5692 / 11862 ti = "14/5692/11862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5692/11862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5692 ÷ 214
    5692 ÷ 16384     		x = 0.347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11862 ÷ 214
    11862 ÷ 16384     		y = 0.7239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.30517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95873799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.447998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40742737284485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95873799} λ = -0.95873799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40742737284485))-π/2
    2×atan(0.244772181406929)-π/2
    2×0.240052343334964-π/2
    0.480104686669927-1.57079632675     		φ = -1.09069164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95873799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.931640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09069164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.492028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5692 KachelY 11862 -0.95873799 -1.09069164 -54.931640 -62.492028
    Oben rechts KachelX + 1 5693 KachelY 11862 -0.95835450 -1.09069164 -54.909668 -62.492028
    Unten links KachelX 5692 KachelY + 1 11863 -0.95873799 -1.09086874 -54.931640 -62.502175
    Unten rechts KachelX + 1 5693 KachelY + 1 11863 -0.95835450 -1.09086874 -54.909668 -62.502175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09069164--1.09086874) × R
    0.00017709999999993 × 6371000     		dl = 1128.30409999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09069164--1.09086874) × R
    0.00017709999999993 × 6371000     		dr = 1128.30409999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95873799--0.95835450) × cos(-1.09069164) × R
    0.000383490000000042 × 0.461872029666475 × 6371000     		do = 1128.45257396857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95873799--0.95835450) × cos(-1.09086874) × R
    0.000383490000000042 × 0.461714944185561 × 6371000     		du = 1128.06878039831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09069164)-sin(-1.09086874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461872029666475-0.461714944185561)×R²
    abs(-0.95835450--0.95873799)×0.000157085480913699×R²
    0.000383490000000042×0.000157085480913699×6371000²
    0.000383490000000042×0.000157085480913699×40589641000000     		ar = 1273021.15126076m²