Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56918 / 9000
↖ ↑ ↗
← N 78.304955°
E132.659912°		 ← 123.82 m → N 78.304955°
E132.665406°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
N 78.303841°
E132.659912°		 ← 123.83 m →
15 336 m²		 N 78.303841°
E132.665406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868507385253906 y=0.137336730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868507385253906 × 216)
    floor (0.868507385253906 × 65536)
    floor (56918.5)     		tx = 56918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137336730957031 × 216)
    floor (0.137336730957031 × 65536)
    floor (9000.5)     		ty = 9000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56918 / 9000 ti = "16/56918/9000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56918/9000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56918 ÷ 216
    56918 ÷ 65536     		x = 0.868499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9000 ÷ 216
    9000 ÷ 65536     		y = 0.1373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868499755859375 × 2 - 1) × π
    0.73699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.31535225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1373291015625 × 2 - 1) × π
    0.725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27872846033899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31535225} λ = 2.31535225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27872846033899))-π/2
    2×atan(9.76425687281887)-π/2
    2×1.46873780670998-π/2
    2.93747561341997-1.57079632675     		φ = 1.36667929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31535225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.659912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36667929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.304955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56918 KachelY 9000 2.31535225 1.36667929 132.659912 78.304955
    Oben rechts KachelX + 1 56919 KachelY 9000 2.31544813 1.36667929 132.665406 78.304955
    Unten links KachelX 56918 KachelY + 1 9001 2.31535225 1.36665985 132.659912 78.303841
    Unten rechts KachelX + 1 56919 KachelY + 1 9001 2.31544813 1.36665985 132.665406 78.303841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36667929-1.36665985) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36667929-1.36665985) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31535225-2.31544813) × cos(1.36667929) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202702605839304 × 6371000     		do = 123.821186776714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31535225-2.31544813) × cos(1.36665985) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20272164223331 × 6371000     		du = 123.832815186167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36667929)-sin(1.36665985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202702605839304-0.20272164223331)×R²
    abs(2.31544813-2.31535225)×1.90363940066329e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.90363940066329e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.90363940066329e-05×40589641000000     		ar = 15336.2514444183m²