Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56917 / 18271
↖ ↑ ↗
← N 78.153115°
W 23.672791°		 ← 62.70 m → N 78.153115°
W 23.670044°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.152551°
W 23.672791°		 ← 62.71 m →
3 931 m²		 N 78.152551°
W 23.670044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434246063232422 y=0.139400482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434246063232422 × 217)
    floor (0.434246063232422 × 131072)
    floor (56917.5)     		tx = 56917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139400482177734 × 217)
    floor (0.139400482177734 × 131072)
    floor (18271.5)     		ty = 18271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56917 / 18271 ti = "17/56917/18271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56917/18271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56917 ÷ 217
    56917 ÷ 131072     		x = 0.434242248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18271 ÷ 217
    18271 ÷ 131072     		y = 0.139396667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434242248535156 × 2 - 1) × π
    -0.131515502929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.41316814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139396667480469 × 2 - 1) × π
    0.721206665039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.26573756054195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41316814} λ = -0.41316814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26573756054195))-π/2
    2×atan(9.63823075887935)-π/2
    2×1.46741275333029-π/2
    2.93482550666059-1.57079632675     		φ = 1.36402918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41316814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.672791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36402918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.153115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56917 KachelY 18271 -0.41316814 1.36402918 -23.672791 78.153115
    Oben rechts KachelX + 1 56918 KachelY 18271 -0.41312020 1.36402918 -23.670044 78.153115
    Unten links KachelX 56917 KachelY + 1 18272 -0.41316814 1.36401934 -23.672791 78.152551
    Unten rechts KachelX + 1 56918 KachelY + 1 18272 -0.41312020 1.36401934 -23.670044 78.152551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36402918-1.36401934) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dl = 62.6906399995393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36402918-1.36401934) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dr = 62.6906399995393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41316814--0.41312020) × cos(1.36402918) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.205296985634621 × 6371000     		do = 62.702983757255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41316814--0.41312020) × cos(1.36401934) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.205306616029956 × 6371000     		du = 62.7059251278766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36402918)-sin(1.36401934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205296985634621-0.205306616029956)×R²
    abs(-0.41312020--0.41316814)×9.63039533452559e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.63039533452559e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.63039533452559e-06×40589641000000     		ar = 3930.9823800404m²