Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56916 / 18270
↖ ↑ ↗
← N 78.153679°
W 23.675537°		 ← 62.69 m → N 78.153679°
W 23.672791°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.153115°
W 23.675537°		 ← 62.69 m →
3 930 m²		 N 78.153115°
W 23.672791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434238433837891 y=0.139392852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434238433837891 × 217)
    floor (0.434238433837891 × 131072)
    floor (56916.5)     		tx = 56916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139392852783203 × 217)
    floor (0.139392852783203 × 131072)
    floor (18270.5)     		ty = 18270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56916 / 18270 ti = "17/56916/18270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56916/18270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56916 ÷ 217
    56916 ÷ 131072     		x = 0.434234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18270 ÷ 217
    18270 ÷ 131072     		y = 0.139389038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.13153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41321607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139389038085938 × 2 - 1) × π
    0.721221923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26578549744157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41321607} λ = -0.41321607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26578549744157))-π/2
    2×atan(9.638692796854)-π/2
    2×1.46741767386537-π/2
    2.93483534773073-1.57079632675     		φ = 1.36403902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41321607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.675537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36403902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.153679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56916 KachelY 18270 -0.41321607 1.36403902 -23.675537 78.153679
    Oben rechts KachelX + 1 56917 KachelY 18270 -0.41316814 1.36403902 -23.672791 78.153679
    Unten links KachelX 56916 KachelY + 1 18271 -0.41321607 1.36402918 -23.675537 78.153115
    Unten rechts KachelX + 1 56917 KachelY + 1 18271 -0.41316814 1.36402918 -23.672791 78.153115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36403902-1.36402918) × R
    9.84000000014973e-06 × 6371000     		dl = 62.6906400009539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36403902-1.36402918) × R
    9.84000000014973e-06 × 6371000     		dr = 62.6906400009539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41321607--0.41316814) × cos(1.36403902) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.205287355219408 × 6371000     		do = 62.6869635230954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41321607--0.41316814) × cos(1.36402918) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.205296985634621 × 6371000     		du = 62.6899042862345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36403902)-sin(1.36402918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205287355219408-0.205296985634621)×R²
    abs(-0.41316814--0.41321607)×9.63041521276353e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.63041521276353e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.63041521276353e-06×40589641000000     		ar = 3929.97804203195m²