Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5691 / 11867
↖ ↑ ↗
← S 62.542728°
W 54.953613°		 ← 1 126.56 m → S 62.542728°
W 54.931640°		 →
↑
1 126.33 m
↓
↑
1 126.33 m
↓
S 62.552857°
W 54.953613°		 ← 1 126.18 m →
1 268 666 m²		 S 62.552857°
W 54.931640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347381591796875 y=0.724334716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347381591796875 × 214)
    floor (0.347381591796875 × 16384)
    floor (5691.5)     		tx = 5691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724334716796875 × 214)
    floor (0.724334716796875 × 16384)
    floor (11867.5)     		ty = 11867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5691 / 11867 ti = "14/5691/11867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5691/11867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5691 ÷ 214
    5691 ÷ 16384     		x = 0.34735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11867 ÷ 214
    11867 ÷ 16384     		y = 0.72430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.3052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95912149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.4486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40934484882965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95912149} λ = -0.95912149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40934484882965))-π/2
    2×atan(0.244303286318535)-π/2
    2×0.239609905463824-π/2
    0.479219810927648-1.57079632675     		φ = -1.09157652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95912149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.953613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09157652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.542728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5691 KachelY 11867 -0.95912149 -1.09157652 -54.953613 -62.542728
    Oben rechts KachelX + 1 5692 KachelY 11867 -0.95873799 -1.09157652 -54.931640 -62.542728
    Unten links KachelX 5691 KachelY + 1 11868 -0.95912149 -1.09175331 -54.953613 -62.552857
    Unten rechts KachelX + 1 5692 KachelY + 1 11868 -0.95873799 -1.09175331 -54.931640 -62.552857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09157652--1.09175331) × R
    0.000176790000000038 × 6371000     		dl = 1126.32909000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09157652--1.09175331) × R
    0.000176790000000038 × 6371000     		dr = 1126.32909000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95912149--0.95873799) × cos(-1.09157652) × R
    0.000383499999999981 × 0.461087007657159 × 6371000     		do = 1126.56397243802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95912149--0.95873799) × cos(-1.09175331) × R
    0.000383499999999981 × 0.460930124974375 × 6371000     		du = 1126.18066435215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09157652)-sin(-1.09175331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461087007657159-0.460930124974375)×R²
    abs(-0.95873799--0.95912149)×0.000156882682784132×R²
    0.000383499999999981×0.000156882682784132×6371000²
    0.000383499999999981×0.000156882682784132×40589641000000     		ar = 1268665.91168383m²