Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56908 / 17628
↖ ↑ ↗
← N 78.510264°
W 23.697510°		 ← 60.84 m → N 78.510264°
W 23.694763°		 →
↑
60.84 m
↓
↑
60.84 m
↓
N 78.509717°
W 23.697510°		 ← 60.84 m →
3 702 m²		 N 78.509717°
W 23.694763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434177398681641 y=0.134494781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434177398681641 × 217)
    floor (0.434177398681641 × 131072)
    floor (56908.5)     		tx = 56908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134494781494141 × 217)
    floor (0.134494781494141 × 131072)
    floor (17628.5)     		ty = 17628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56908 / 17628 ti = "17/56908/17628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56908/17628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56908 ÷ 217
    56908 ÷ 131072     		x = 0.434173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17628 ÷ 217
    17628 ÷ 131072     		y = 0.134490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434173583984375 × 2 - 1) × π
    -0.13165283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41359957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134490966796875 × 2 - 1) × π
    0.73101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29656098699765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41359957} λ = -0.41359957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29656098699765))-π/2
    2×atan(9.93994002549286)-π/2
    2×1.47052946388425-π/2
    2.94105892776849-1.57079632675     		φ = 1.37026260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41359957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.697510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37026260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.510264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56908 KachelY 17628 -0.41359957 1.37026260 -23.697510 78.510264
    Oben rechts KachelX + 1 56909 KachelY 17628 -0.41355163 1.37026260 -23.694763 78.510264
    Unten links KachelX 56908 KachelY + 1 17629 -0.41359957 1.37025305 -23.697510 78.509717
    Unten rechts KachelX + 1 56909 KachelY + 1 17629 -0.41355163 1.37025305 -23.694763 78.509717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37026260-1.37025305) × R
    9.54999999991379e-06 × 6371000     		dl = 60.8430499994508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37026260-1.37025305) × R
    9.54999999991379e-06 × 6371000     		dr = 60.8430499994508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41359957--0.41355163) × cos(1.37026260) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.199192390266704 × 6371000     		do = 60.8384831996076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41359957--0.41355163) × cos(1.37025305) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.199201748879471 × 6371000     		du = 60.841341560837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37026260)-sin(1.37025305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199192390266704-0.199201748879471)×R²
    abs(-0.41355163--0.41359957)×9.35861276604721e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.35861276604721e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.35861276604721e-06×40589641000000     		ar = 3701.68583103608m²