Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56904 / 83991
↖ ↑ ↗
← S 45.133618°
W 23.708496°		 ← 215.46 m → S 45.133618°
W 23.705749°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
S 45.135555°
W 23.708496°		 ← 215.46 m →
46 425 m²		 S 45.135555°
W 23.705749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434146881103516 y=0.640804290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434146881103516 × 217)
    floor (0.434146881103516 × 131072)
    floor (56904.5)     		tx = 56904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640804290771484 × 217)
    floor (0.640804290771484 × 131072)
    floor (83991.5)     		ty = 83991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56904 / 83991 ti = "17/56904/83991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56904/83991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56904 ÷ 217
    56904 ÷ 131072     		x = 0.43414306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83991 ÷ 217
    83991 ÷ 131072     		y = 0.640800476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43414306640625 × 2 - 1) × π
    -0.1317138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41379132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640800476074219 × 2 - 1) × π
    -0.281600952148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.884675482488136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41379132} λ = -0.41379132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884675482488136))-π/2
    2×atan(0.412848127989822)-π/2
    2×0.391533048172156-π/2
    0.783066096344312-1.57079632675     		φ = -0.78773023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41379132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.708496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78773023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.133618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56904 KachelY 83991 -0.41379132 -0.78773023 -23.708496 -45.133618
    Oben rechts KachelX + 1 56905 KachelY 83991 -0.41374338 -0.78773023 -23.705749 -45.133618
    Unten links KachelX 56904 KachelY + 1 83992 -0.41379132 -0.78776405 -23.708496 -45.135555
    Unten rechts KachelX + 1 56905 KachelY + 1 83992 -0.41374338 -0.78776405 -23.705749 -45.135555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78773023--0.78776405) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dl = 215.467220000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78773023--0.78776405) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dr = 215.467220000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41379132--0.41374338) × cos(-0.78773023) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.705455839760923 × 6371000     		do = 215.46437189641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41379132--0.41374338) × cos(-0.78776405) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.70543186930136 × 6371000     		du = 215.457050701059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78773023)-sin(-0.78776405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705455839760923-0.70543186930136)×R²
    abs(-0.41374338--0.41379132)×2.39704595628165e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39704595628165e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39704595628165e-05×40589641000000     		ar = 46424.7204872824m²