Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56900 / 17981
↖ ↑ ↗
← N 78.315529°
W 23.719483°		 ← 61.86 m → N 78.315529°
W 23.716736°		 →
↑
61.86 m
↓
↑
61.86 m
↓
N 78.314972°
W 23.719483°		 ← 61.86 m →
3 827 m²		 N 78.314972°
W 23.716736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434116363525391 y=0.137187957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434116363525391 × 217)
    floor (0.434116363525391 × 131072)
    floor (56900.5)     		tx = 56900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137187957763672 × 217)
    floor (0.137187957763672 × 131072)
    floor (17981.5)     		ty = 17981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56900 / 17981 ti = "17/56900/17981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56900/17981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56900 ÷ 217
    56900 ÷ 131072     		x = 0.434112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17981 ÷ 217
    17981 ÷ 131072     		y = 0.137184143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.13177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41398307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137184143066406 × 2 - 1) × π
    0.725631713867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.27963926143177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41398307} λ = -0.41398307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27963926143177))-π/2
    2×atan(9.77315421989047)-π/2
    2×1.46883007643493-π/2
    2.93766015286986-1.57079632675     		φ = 1.36686383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41398307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.719483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36686383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.315529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56900 KachelY 17981 -0.41398307 1.36686383 -23.719483 78.315529
    Oben rechts KachelX + 1 56901 KachelY 17981 -0.41393513 1.36686383 -23.716736 78.315529
    Unten links KachelX 56900 KachelY + 1 17982 -0.41398307 1.36685412 -23.719483 78.314972
    Unten rechts KachelX + 1 56901 KachelY + 1 17982 -0.41393513 1.36685412 -23.716736 78.314972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36686383-1.36685412) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dl = 61.8624100003289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36686383-1.36685412) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dr = 61.8624100003289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41398307--0.41393513) × cos(1.36686383) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.202521893375514 × 6371000     		do = 61.8553991504485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41398307--0.41393513) × cos(1.36685412) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.202531402152776 × 6371000     		du = 61.8583033757802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36686383)-sin(1.36685412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202521893375514-0.202531402152776)×R²
    abs(-0.41393513--0.41398307)×9.50877726160759e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.50877726160759e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.50877726160759e-06×40589641000000     		ar = 3826.61389403327m²