Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56900 / 17603
↖ ↑ ↗
← N 78.523933°
W 23.719483°		 ← 60.77 m → N 78.523933°
W 23.716736°		 →
↑
60.78 m
↓
↑
60.78 m
↓
N 78.523387°
W 23.719483°		 ← 60.77 m →
3 693 m²		 N 78.523387°
W 23.716736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434116363525391 y=0.134304046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434116363525391 × 217)
    floor (0.434116363525391 × 131072)
    floor (56900.5)     		tx = 56900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134304046630859 × 217)
    floor (0.134304046630859 × 131072)
    floor (17603.5)     		ty = 17603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56900 / 17603 ti = "17/56900/17603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56900/17603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56900 ÷ 217
    56900 ÷ 131072     		x = 0.434112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17603 ÷ 217
    17603 ÷ 131072     		y = 0.134300231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.13177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41398307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134300231933594 × 2 - 1) × π
    0.731399536132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.29775940948815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41398307} λ = -0.41398307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29775940948815))-π/2
    2×atan(9.95185941397869)-π/2
    2×1.47064875214259-π/2
    2.94129750428518-1.57079632675     		φ = 1.37050118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41398307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.719483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37050118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.523933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56900 KachelY 17603 -0.41398307 1.37050118 -23.719483 78.523933
    Oben rechts KachelX + 1 56901 KachelY 17603 -0.41393513 1.37050118 -23.716736 78.523933
    Unten links KachelX 56900 KachelY + 1 17604 -0.41398307 1.37049164 -23.719483 78.523387
    Unten rechts KachelX + 1 56901 KachelY + 1 17604 -0.41393513 1.37049164 -23.716736 78.523387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37050118-1.37049164) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dl = 60.779339999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37050118-1.37049164) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dr = 60.779339999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41398307--0.41393513) × cos(1.37050118) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.198958585646892 × 6371000     		do = 60.7670732505859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41398307--0.41393513) × cos(1.37049164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19896793491319 × 6371000     		du = 60.7699287571635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37050118)-sin(1.37049164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198958585646892-0.19896793491319)×R²
    abs(-0.41393513--0.41398307)×9.34926629811428e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.34926629811428e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.34926629811428e-06×40589641000000     		ar = 3693.46938370044m²