Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5690 / 11860
↖ ↑ ↗
← S 62.471724°
W 54.975586°		 ← 1 129.22 m → S 62.471724°
W 54.953613°		 →
↑
1 129 m
↓
↑
1 129 m
↓
S 62.481877°
W 54.975586°		 ← 1 128.84 m →
1 274 679 m²		 S 62.481877°
W 54.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347320556640625 y=0.723907470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347320556640625 × 214)
    floor (0.347320556640625 × 16384)
    floor (5690.5)     		tx = 5690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723907470703125 × 214)
    floor (0.723907470703125 × 16384)
    floor (11860.5)     		ty = 11860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5690 / 11860 ti = "14/5690/11860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5690/11860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5690 ÷ 214
    5690 ÷ 16384     		x = 0.3472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11860 ÷ 214
    11860 ÷ 16384     		y = 0.723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.305419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95950498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723876953125 × 2 - 1) × π
    -0.44775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40666038245093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95950498} λ = -0.95950498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40666038245093))-π/2
    2×atan(0.244959991333765)-π/2
    2×0.240229529297358-π/2
    0.480459058594716-1.57079632675     		φ = -1.09033727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95950498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09033727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.471724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5690 KachelY 11860 -0.95950498 -1.09033727 -54.975586 -62.471724
    Oben rechts KachelX + 1 5691 KachelY 11860 -0.95912149 -1.09033727 -54.953613 -62.471724
    Unten links KachelX 5690 KachelY + 1 11861 -0.95950498 -1.09051448 -54.975586 -62.481877
    Unten rechts KachelX + 1 5691 KachelY + 1 11861 -0.95912149 -1.09051448 -54.953613 -62.481877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09033727--1.09051448) × R
    0.000177209999999928 × 6371000     		dl = 1129.00490999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09033727--1.09051448) × R
    0.000177209999999928 × 6371000     		dr = 1129.00490999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95950498--0.95912149) × cos(-1.09033727) × R
    0.000383489999999931 × 0.462186307917435 × 6371000     		do = 1129.22042323917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95950498--0.95912149) × cos(-1.09051448) × R
    0.000383489999999931 × 0.46202915387293 × 6371000     		du = 1128.83646215332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09033727)-sin(-1.09051448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462186307917435-0.46202915387293)×R²
    abs(-0.95912149--0.95950498)×0.000157154044505448×R²
    0.000383489999999931×0.000157154044505448×6371000²
    0.000383489999999931×0.000157154044505448×40589641000000     		ar = 1274678.65866866m²