Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 569 / 695
↖ ↑ ↗
← N 75.693932°
W129.990235°		 ← 2 414.94 m → N 75.693932°
W129.902343°		 →
↑
2 416.71 m
↓
↑
2 416.71 m
↓
N 75.672198°
W129.990235°		 ← 2 418.53 m →
5 840 546 m²		 N 75.672198°
W129.902343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1390380859375 y=0.1697998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1390380859375 × 212)
    floor (0.1390380859375 × 4096)
    floor (569.5)     		tx = 569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1697998046875 × 212)
    floor (0.1697998046875 × 4096)
    floor (695.5)     		ty = 695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 569 / 695 ti = "12/569/695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/569/695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 569 ÷ 212
    569 ÷ 4096     		x = 0.138916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 695 ÷ 212
    695 ÷ 4096     		y = 0.169677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138916015625 × 2 - 1) × π
    -0.72216796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26875759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169677734375 × 2 - 1) × π
    0.66064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07547600594995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26875759} λ = -2.26875759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07547600594995))-π/2
    2×atan(7.96833853299122)-π/2
    2×1.4459523272418-π/2
    2.89190465448359-1.57079632675     		φ = 1.32110833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26875759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.990235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32110833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.693932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 569 KachelY 695 -2.26875759 1.32110833 -129.990235 75.693932
    Oben rechts KachelX + 1 570 KachelY 695 -2.26722360 1.32110833 -129.902343 75.693932
    Unten links KachelX 569 KachelY + 1 696 -2.26875759 1.32072900 -129.990235 75.672198
    Unten rechts KachelX + 1 570 KachelY + 1 696 -2.26722360 1.32072900 -129.902343 75.672198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32110833-1.32072900) × R
    0.0003793299999999 × 6371000     		dl = 2416.71142999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32110833-1.32072900) × R
    0.0003793299999999 × 6371000     		dr = 2416.71142999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26875759--2.26722360) × cos(1.32110833) × R
    0.00153398999999999 × 0.247101643436497 × 6371000     		do = 2414.93678804651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26875759--2.26722360) × cos(1.32072900) × R
    0.00153398999999999 × 0.247469192461635 × 6371000     		du = 2418.52886315322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32110833)-sin(1.32072900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247101643436497-0.247469192461635)×R²
    abs(-2.26722360--2.26875759)×0.000367549025137887×R²
    0.00153398999999999×0.000367549025137887×6371000²
    0.00153398999999999×0.000367549025137887×40589641000000     		ar = 5840545.91291697m²