Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 569 / 601
↖ ↑ ↗
← S 29.840644°
E 20.039063°		 ← 33.909 km → S 29.840644°
E 20.390625°		 →
↑
33.857 km
↓
↑
33.857 km
↓
S 30.145127°
E 20.039063°		 ← 33.805 km →
1 146.30 km²		 S 30.145127°
E 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55615234375 y=0.58740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55615234375 × 210)
    floor (0.55615234375 × 1024)
    floor (569.5)     		tx = 569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58740234375 × 210)
    floor (0.58740234375 × 1024)
    floor (601.5)     		ty = 601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 569 / 601 ti = "10/569/601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/569/601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 569 ÷ 210
    569 ÷ 1024     		x = 0.5556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 601 ÷ 210
    601 ÷ 1024     		y = 0.5869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5556640625 × 2 - 1) × π
    0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5869140625 × 2 - 1) × π
    -0.173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.54609716047168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34974762} λ = 0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54609716047168))-π/2
    2×atan(0.57920595272323)-π/2
    2×0.524989419920582-π/2
    1.04997883984116-1.57079632675     		φ = -0.52081749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52081749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.840644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 569 KachelY 601 0.34974762 -0.52081749 20.039063 -29.840644
    Oben rechts KachelX + 1 570 KachelY 601 0.35588354 -0.52081749 20.390625 -29.840644
    Unten links KachelX 569 KachelY + 1 602 0.34974762 -0.52613172 20.039063 -30.145127
    Unten rechts KachelX + 1 570 KachelY + 1 602 0.35588354 -0.52613172 20.390625 -30.145127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52081749--0.52613172) × R
    0.00531422999999998 × 6371000     		dl = 33856.9593299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52081749--0.52613172) × R
    0.00531422999999998 × 6371000     		dr = 33856.9593299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34974762-0.35588354) × cos(-0.52081749) × R
    0.00613592000000002 × 0.867412695201626 × 6371000     		do = 33908.8505181086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34974762-0.35588354) × cos(-0.52613172) × R
    0.00613592000000002 × 0.864756154813241 × 6371000     		du = 33805.0011838489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52081749)-sin(-0.52613172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867412695201626-0.864756154813241)×R²
    abs(0.35588354-0.34974762)×0.00265654038838514×R²
    0.00613592000000002×0.00265654038838514×6371000²
    0.00613592000000002×0.00265654038838514×40589641000000     		ar = 1146295259.29091m²