Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 569 / 1616
↖ ↑ ↗
← S 71.524909°
W 79.980469°		 ← 6 193.97 m → S 71.524909°
W 79.804688°		 →
↑
6 184.97 m
↓
↑
6 184.97 m
↓
S 71.580532°
W 79.980469°		 ← 6 175.97 m →
38 253 832 m²		 S 71.580532°
W 79.804688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278076171875 y=0.789306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278076171875 × 211)
    floor (0.278076171875 × 2048)
    floor (569.5)     		tx = 569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789306640625 × 211)
    floor (0.789306640625 × 2048)
    floor (1616.5)     		ty = 1616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 569 / 1616 ti = "11/569/1616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/569/1616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 569 ÷ 211
    569 ÷ 2048     		x = 0.27783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1616 ÷ 211
    1616 ÷ 2048     		y = 0.7890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27783203125 × 2 - 1) × π
    -0.4443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39592252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7890625 × 2 - 1) × π
    -0.578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39592252} λ = -1.39592252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81623325280469))-π/2
    2×atan(0.16263721186318)-π/2
    2×0.161225583460261-π/2
    0.322451166920523-1.57079632675     		φ = -1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39592252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 569 KachelY 1616 -1.39592252 -1.24834516 -79.980469 -71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 570 KachelY 1616 -1.39285456 -1.24834516 -79.804688 -71.524909
    Unten links KachelX 569 KachelY + 1 1617 -1.39592252 -1.24931596 -79.980469 -71.580532
    Unten rechts KachelX + 1 570 KachelY + 1 1617 -1.39285456 -1.24931596 -79.804688 -71.580532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24834516--1.24931596) × R
    0.000970799999999938 × 6371000     		dl = 6184.96679999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24834516--1.24931596) × R
    0.000970799999999938 × 6371000     		dr = 6184.96679999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39592252--1.39285456) × cos(-1.24834516) × R
    0.00306796000000009 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 6193.96932141829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39592252--1.39285456) × cos(-1.24931596) × R
    0.00306796000000009 × 0.315971432012315 × 6371000     		du = 6175.96912943966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24834516)-sin(-1.24931596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.315971432012315)×R²
    abs(-1.39285456--1.39592252)×0.000920915619359586×R²
    0.00306796000000009×0.000920915619359586×6371000²
    0.00306796000000009×0.000920915619359586×40589641000000     		ar = 38253832.3226622m²