Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56899 / 9665
↖ ↑ ↗
← N 77.540911°
E132.555542°		 ← 131.77 m → N 77.540911°
E132.561035°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
N 77.539726°
E132.555542°		 ← 131.79 m →
17 362 m²		 N 77.539726°
E132.561035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868217468261719 y=0.147483825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868217468261719 × 216)
    floor (0.868217468261719 × 65536)
    floor (56899.5)     		tx = 56899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147483825683594 × 216)
    floor (0.147483825683594 × 65536)
    floor (9665.5)     		ty = 9665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56899 / 9665 ti = "16/56899/9665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56899/9665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56899 ÷ 216
    56899 ÷ 65536     		x = 0.868209838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9665 ÷ 216
    9665 ÷ 65536     		y = 0.147476196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868209838867188 × 2 - 1) × π
    0.736419677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31353065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147476196289062 × 2 - 1) × π
    0.705047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21497238384431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31353065} λ = 2.31353065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21497238384431))-π/2
    2×atan(9.16115611220193)-π/2
    2×1.46207026355661-π/2
    2.92414052711323-1.57079632675     		φ = 1.35334420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31353065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.555542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35334420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.540911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56899 KachelY 9665 2.31353065 1.35334420 132.555542 77.540911
    Oben rechts KachelX + 1 56900 KachelY 9665 2.31362652 1.35334420 132.561035 77.540911
    Unten links KachelX 56899 KachelY + 1 9666 2.31353065 1.35332352 132.555542 77.539726
    Unten rechts KachelX + 1 56900 KachelY + 1 9666 2.31362652 1.35332352 132.561035 77.539726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35334420-1.35332352) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35334420-1.35332352) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31353065-2.31362652) × cos(1.35334420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21574245447336 × 6371000     		do = 131.772852662107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31353065-2.31362652) × cos(1.35332352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215762647419482 × 6371000     		du = 131.785186266639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35334420)-sin(1.35332352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21574245447336-0.215762647419482)×R²
    abs(2.31362652-2.31353065)×2.01929461227102e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01929461227102e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01929461227102e-05×40589641000000     		ar = 17362.1862711119m²