Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56898 / 9662
↖ ↑ ↗
← N 77.544466°
E132.550049°		 ← 131.74 m → N 77.544466°
E132.555542°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
N 77.543281°
E132.550049°		 ← 131.75 m →
17 357 m²		 N 77.543281°
E132.555542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868202209472656 y=0.147438049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868202209472656 × 216)
    floor (0.868202209472656 × 65536)
    floor (56898.5)     		tx = 56898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147438049316406 × 216)
    floor (0.147438049316406 × 65536)
    floor (9662.5)     		ty = 9662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56898 / 9662 ti = "16/56898/9662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56898/9662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56898 ÷ 216
    56898 ÷ 65536     		x = 0.868194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9662 ÷ 216
    9662 ÷ 65536     		y = 0.147430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868194580078125 × 2 - 1) × π
    0.73638916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.31343478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147430419921875 × 2 - 1) × π
    0.70513916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21526000524204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31343478} λ = 2.31343478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21526000524204))-π/2
    2×atan(9.16379143569721)-π/2
    2×1.4621012852733-π/2
    2.92420257054661-1.57079632675     		φ = 1.35340624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31343478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.550049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35340624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.544466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56898 KachelY 9662 2.31343478 1.35340624 132.550049 77.544466
    Oben rechts KachelX + 1 56899 KachelY 9662 2.31353065 1.35340624 132.555542 77.544466
    Unten links KachelX 56898 KachelY + 1 9663 2.31343478 1.35338556 132.550049 77.543281
    Unten rechts KachelX + 1 56899 KachelY + 1 9663 2.31353065 1.35338556 132.555542 77.543281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35340624-1.35338556) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35340624-1.35338556) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31343478-2.31353065) × cos(1.35340624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215681875081436 × 6371000     		do = 131.735851510406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31343478-2.31353065) × cos(1.35338556) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215702068304328 × 6371000     		du = 131.748185283985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35340624)-sin(1.35338556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215681875081436-0.215702068304328)×R²
    abs(2.31353065-2.31343478)×2.01932228915958e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01932228915958e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01932228915958e-05×40589641000000     		ar = 17357.3112964701m²