Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56898 / 17983
↖ ↑ ↗
← N 78.314416°
W 23.724976°		 ← 61.86 m → N 78.314416°
W 23.722229°		 →
↑
61.86 m
↓
↑
61.86 m
↓
N 78.313860°
W 23.724976°		 ← 61.86 m →
3 827 m²		 N 78.313860°
W 23.722229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434101104736328 y=0.137203216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434101104736328 × 217)
    floor (0.434101104736328 × 131072)
    floor (56898.5)     		tx = 56898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137203216552734 × 217)
    floor (0.137203216552734 × 131072)
    floor (17983.5)     		ty = 17983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56898 / 17983 ti = "17/56898/17983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56898/17983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56898 ÷ 217
    56898 ÷ 131072     		x = 0.434097290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17983 ÷ 217
    17983 ÷ 131072     		y = 0.137199401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434097290039062 × 2 - 1) × π
    -0.131805419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41407894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137199401855469 × 2 - 1) × π
    0.725601196289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.27954338763253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41407894} λ = -0.41407894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27954338763253))-π/2
    2×atan(9.77221727537979)-π/2
    2×1.46882036770732-π/2
    2.93764073541464-1.57079632675     		φ = 1.36684441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41407894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.724976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36684441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.314416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56898 KachelY 17983 -0.41407894 1.36684441 -23.724976 78.314416
    Oben rechts KachelX + 1 56899 KachelY 17983 -0.41403100 1.36684441 -23.722229 78.314416
    Unten links KachelX 56898 KachelY + 1 17984 -0.41407894 1.36683470 -23.724976 78.313860
    Unten rechts KachelX + 1 56899 KachelY + 1 17984 -0.41403100 1.36683470 -23.722229 78.313860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36684441-1.36683470) × R
    9.70999999982958e-06 × 6371000     		dl = 61.8624099989142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36684441-1.36683470) × R
    9.70999999982958e-06 × 6371000     		dr = 61.8624099989142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41407894--0.41403100) × cos(1.36684441) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.202540910910942 × 6371000     		do = 61.8612075952796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41407894--0.41403100) × cos(1.36683470) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.202550419650011 × 6371000     		du = 61.8641118089463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36684441)-sin(1.36683470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202540910910942-0.202550419650011)×R²
    abs(-0.41403100--0.41407894)×9.50873906951921e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.50873906951921e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.50873906951921e-06×40589641000000     		ar = 3826.97321803194m²