Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56896 / 17985
↖ ↑ ↗
← N 78.313303°
W 23.730469°		 ← 61.85 m → N 78.313303°
W 23.727722°		 →
↑
61.86 m
↓
↑
61.86 m
↓
N 78.312747°
W 23.730469°		 ← 61.86 m →
3 827 m²		 N 78.312747°
W 23.727722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434085845947266 y=0.137218475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434085845947266 × 217)
    floor (0.434085845947266 × 131072)
    floor (56896.5)     		tx = 56896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137218475341797 × 217)
    floor (0.137218475341797 × 131072)
    floor (17985.5)     		ty = 17985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56896 / 17985 ti = "17/56896/17985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56896/17985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56896 ÷ 217
    56896 ÷ 131072     		x = 0.43408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17985 ÷ 217
    17985 ÷ 131072     		y = 0.137214660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137214660644531 × 2 - 1) × π
    0.725570678710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.27944751383329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41417481} λ = -0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27944751383329))-π/2
    2×atan(9.77128042069322)-π/2
    2×1.46881065806814-π/2
    2.93762131613629-1.57079632675     		φ = 1.36682499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36682499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.313303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56896 KachelY 17985 -0.41417481 1.36682499 -23.730469 78.313303
    Oben rechts KachelX + 1 56897 KachelY 17985 -0.41412688 1.36682499 -23.727722 78.313303
    Unten links KachelX 56896 KachelY + 1 17986 -0.41417481 1.36681528 -23.730469 78.312747
    Unten rechts KachelX + 1 56897 KachelY + 1 17986 -0.41412688 1.36681528 -23.727722 78.312747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36682499-1.36681528) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dl = 61.8624100003289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36682499-1.36681528) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dr = 61.8624100003289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41417481--0.41412688) × cos(1.36682499) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202559928369984 × 6371000     		do = 61.8541109237507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41417481--0.41412688) × cos(1.36681528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202569437070858 × 6371000     		du = 61.8570145199523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36682499)-sin(1.36681528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202559928369984-0.202569437070858)×R²
    abs(-0.41412688--0.41417481)×9.5087008742667e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.5087008742667e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.5087008742667e-06×40589641000000     		ar = 3826.53418184022m²