Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56889 / 44109
↖ ↑ ↗
← N 50.602416°
W 23.749695°		 ← 193.85 m → N 50.602416°
W 23.746948°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
N 50.600673°
W 23.749695°		 ← 193.86 m →
37 571 m²		 N 50.600673°
W 23.746948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434032440185547 y=0.336528778076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434032440185547 × 217)
    floor (0.434032440185547 × 131072)
    floor (56889.5)     		tx = 56889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336528778076172 × 217)
    floor (0.336528778076172 × 131072)
    floor (44109.5)     		ty = 44109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56889 / 44109 ti = "17/56889/44109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56889/44109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56889 ÷ 217
    56889 ÷ 131072     		x = 0.434028625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44109 ÷ 217
    44109 ÷ 131072     		y = 0.336524963378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434028625488281 × 2 - 1) × π
    -0.131942749023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.41451037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336524963378906 × 2 - 1) × π
    0.326950073242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.02714394815894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41451037} λ = -0.41451037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02714394815894))-π/2
    2×atan(2.79307725878869)-π/2
    2×1.2269875500844-π/2
    2.4539751001688-1.57079632675     		φ = 0.88317877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41451037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.749695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88317877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.602416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56889 KachelY 44109 -0.41451037 0.88317877 -23.749695 50.602416
    Oben rechts KachelX + 1 56890 KachelY 44109 -0.41446243 0.88317877 -23.746948 50.602416
    Unten links KachelX 56889 KachelY + 1 44110 -0.41451037 0.88314835 -23.749695 50.600673
    Unten rechts KachelX + 1 56890 KachelY + 1 44110 -0.41446243 0.88314835 -23.746948 50.600673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88317877-0.88314835) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dl = 193.805819999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88317877-0.88314835) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dr = 193.805819999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41451037--0.41446243) × cos(0.88317877) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634697927629306 × 6371000     		do = 193.853084222745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41451037--0.41446243) × cos(0.88314835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63472143470513 × 6371000     		du = 193.860263888773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88317877)-sin(0.88314835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634697927629306-0.63472143470513)×R²
    abs(-0.41446243--0.41451037)×2.3507075824436e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3507075824436e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3507075824436e-05×40589641000000     		ar = 37570.5516806995m²