Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56887 / 9655
↖ ↑ ↗
← N 77.552756°
E132.489624°		 ← 131.66 m → N 77.552756°
E132.495117°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
N 77.551572°
E132.489624°		 ← 131.68 m →
17 331 m²		 N 77.551572°
E132.495117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868034362792969 y=0.147331237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868034362792969 × 216)
    floor (0.868034362792969 × 65536)
    floor (56887.5)     		tx = 56887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147331237792969 × 216)
    floor (0.147331237792969 × 65536)
    floor (9655.5)     		ty = 9655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56887 / 9655 ti = "16/56887/9655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56887/9655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56887 ÷ 216
    56887 ÷ 65536     		x = 0.868026733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9655 ÷ 216
    9655 ÷ 65536     		y = 0.147323608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868026733398438 × 2 - 1) × π
    0.736053466796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.31238016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147323608398438 × 2 - 1) × π
    0.705352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21593112183672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31238016} λ = 2.31238016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21593112183672))-π/2
    2×atan(9.16994347233593)-π/2
    2×1.46217363540572-π/2
    2.92434727081145-1.57079632675     		φ = 1.35355094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31238016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.489624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35355094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.552756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56887 KachelY 9655 2.31238016 1.35355094 132.489624 77.552756
    Oben rechts KachelX + 1 56888 KachelY 9655 2.31247604 1.35355094 132.495117 77.552756
    Unten links KachelX 56887 KachelY + 1 9656 2.31238016 1.35353028 132.489624 77.551572
    Unten rechts KachelX + 1 56888 KachelY + 1 9656 2.31247604 1.35353028 132.495117 77.551572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35355094-1.35353028) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dl = 131.624860000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35355094-1.35353028) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dr = 131.624860000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31238016-2.31247604) × cos(1.35355094) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.215540578528679 × 6371000     		do = 131.663281394214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31238016-2.31247604) × cos(1.35353028) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.215560752866987 × 6371000     		du = 131.675604918627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35355094)-sin(1.35353028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215540578528679-0.215560752866987)×R²
    abs(2.31247604-2.31238016)×2.01743383075326e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.01743383075326e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.01743383075326e-05×40589641000000     		ar = 17330.9720227639m²