Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56886 / 18070
↖ ↑ ↗
← N 78.265919°
W 23.757934°		 ← 62.11 m → N 78.265919°
W 23.755188°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.265360°
W 23.757934°		 ← 62.12 m →
3 858 m²		 N 78.265360°
W 23.755188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434009552001953 y=0.137866973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434009552001953 × 217)
    floor (0.434009552001953 × 131072)
    floor (56886.5)     		tx = 56886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137866973876953 × 217)
    floor (0.137866973876953 × 131072)
    floor (18070.5)     		ty = 18070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56886 / 18070 ti = "17/56886/18070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56886/18070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56886 ÷ 217
    56886 ÷ 131072     		x = 0.434005737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18070 ÷ 217
    18070 ÷ 131072     		y = 0.137863159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434005737304688 × 2 - 1) × π
    -0.131988525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41465418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137863159179688 × 2 - 1) × π
    0.724273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27537287736559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41465418} λ = -0.41465418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27537287736559))-π/2
    2×atan(9.73154700973089)-π/2
    2×1.46839715465274-π/2
    2.93679430930549-1.57079632675     		φ = 1.36599798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41465418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.757934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36599798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.265919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56886 KachelY 18070 -0.41465418 1.36599798 -23.757934 78.265919
    Oben rechts KachelX + 1 56887 KachelY 18070 -0.41460624 1.36599798 -23.755188 78.265919
    Unten links KachelX 56886 KachelY + 1 18071 -0.41465418 1.36598823 -23.757934 78.265360
    Unten rechts KachelX + 1 56887 KachelY + 1 18071 -0.41460624 1.36598823 -23.755188 78.265360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36599798-1.36598823) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36599798-1.36598823) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41465418--0.41460624) × cos(1.36599798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203369724981667 × 6371000     		do = 62.1143487460814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41465418--0.41460624) × cos(1.36598823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203379271216643 × 6371000     		du = 62.1172644119631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36599798)-sin(1.36598823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203369724981667-0.203379271216643)×R²
    abs(-0.41460624--0.41465418)×9.54623497564921e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.54623497564921e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.54623497564921e-06×40589641000000     		ar = 3858.46308617922m²