Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56879 / 44122
↖ ↑ ↗
← N 50.579749°
W 23.777161°		 ← 193.95 m → N 50.579749°
W 23.774414°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
N 50.578005°
W 23.777161°		 ← 193.95 m →
37 613 m²		 N 50.578005°
W 23.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433956146240234 y=0.336627960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433956146240234 × 217)
    floor (0.433956146240234 × 131072)
    floor (56879.5)     		tx = 56879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336627960205078 × 217)
    floor (0.336627960205078 × 131072)
    floor (44122.5)     		ty = 44122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56879 / 44122 ti = "17/56879/44122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56879/44122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56879 ÷ 217
    56879 ÷ 131072     		x = 0.433952331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44122 ÷ 217
    44122 ÷ 131072     		y = 0.336624145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433952331542969 × 2 - 1) × π
    -0.132095336914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41498974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336624145507812 × 2 - 1) × π
    0.326751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02652076846388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41498974} λ = -0.41498974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02652076846388))-π/2
    2×atan(2.7913372119915)-π/2
    2×1.22678973703342-π/2
    2.45357947406684-1.57079632675     		φ = 0.88278315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41498974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.777161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88278315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.579749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56879 KachelY 44122 -0.41498974 0.88278315 -23.777161 50.579749
    Oben rechts KachelX + 1 56880 KachelY 44122 -0.41494180 0.88278315 -23.774414 50.579749
    Unten links KachelX 56879 KachelY + 1 44123 -0.41498974 0.88275271 -23.777161 50.578005
    Unten rechts KachelX + 1 56880 KachelY + 1 44123 -0.41494180 0.88275271 -23.774414 50.578005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88278315-0.88275271) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88278315-0.88275271) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41498974--0.41494180) × cos(0.88278315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635003597396493 × 6371000     		do = 193.946443637359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41498974--0.41494180) × cos(0.88275271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635027112281696 × 6371000     		du = 193.953625688573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88278315)-sin(0.88275271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635003597396493-0.635027112281696)×R²
    abs(-0.41494180--0.41498974)×2.35148852032463e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35148852032463e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35148852032463e-05×40589641000000     		ar = 37613.3586232718m²